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Author: longsizhuo

app/docs/CommunityShare/Leetcode/[1545]找出第 N 个二进制字符串中的第 K 位.md

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+---
+title: 1545. 找出第 N 个二进制字符串中的第 K 位
+date: "2026.03.04 00:46"
+tags:
+  - Leetcode
+  - answer
+  - Math
+  - String
+---
+
+# 题目
+
+给你两个正整数 n 和 k，二进制字符串 Sn 的形成规则如下：
+
+S1 = "0"
+当 i > 1 时，Si = Si-1 + "1" + reverse(invert(Si-1))
+其中 + 表示串联操作，reverse(x) 返回反转 x 后得到的字符串，而 invert(x) 则会翻转 x 中的每一位（0 变为 1，而 1 变为 0）。
+
+例如，符合上述描述的序列的前 4 个字符串依次是：
+
+S1 = "0"
+S2 = "011"
+S3 = "0111001"
+S4 = "011100110110001"
+请你返回 Sn 的 第 k 位字符 ，题目数据保证 k 一定在 Sn 长度范围以内。
+
+# 题解
+
+首先我尝试了暴力解法，直接生成 Sn，但是发现当 n 比较大时，Sn 的长度会非常长，导致内存溢出。
+
+```javascript
+/**
+ * @param {number} n
+ * @param {number} k
+ * @return {character}
+ */
+var findKthBit = function (n, k) {
+  var reverseR = function (input) {
+    return input
+      .split("") // 拆分成数组 ["0", "1", "1", "1", "0"]
+      .map((char) => char ^ 1) // 翻转每一位: [1, 0, 0, 0, 1]
+      .reverse() // 反转数组顺序: [1, 0, 0, 0, 1]
+      .join(""); // 拼回字符串 "10001"
+  };
+  let S = "0";
+  for (let i = 1; i < n; i++) {
+    S = S + "1" + reverseR(S);
+  }
+  return S[k - 1];
+};
+```
+
+然后我尝试了数学翻转。观察 $S_i = S_{i-1} + "1" + \text{reverse}(\text{invert}(S_{i-1}))$：
+
+长度规律：$|S_n| = 2^n - 1$。
+
+- 例如 $S_1$ 长度 $2^1-1=1$，中间位是第 $1$ 位。
+- $S_2$ 长度 $2^2-1=3$，中间位是第 $2$ 位。
+- $S_3$ 长度 $2^3-1=7$，中间位是第 $4$ 位。
+
+三种位置分类讨论：
+
+- 左半部分 ($k &lt; mid$)：它完全就是 $S_{n-1}$ 的副本。所以直接去问“$S_{n-1}$ 的第 $k$ 位是什么”即可。
+- 正中间 ($k = mid$)：根据逻辑公式，这一位永远是 "1"。
+- 右半部分 ($k &gt; mid$)：这是最巧妙的地方。右边部分是 $S_{n-1}$ 取反再反转。
+
+因为有 反转（Reverse），所以右半部分的第 1 个字符对应左半部分的最后一个，依次类推。
+
+对应关系公式：$S_n[k] = \text{invert}(S_{n-1}[2^n - k])$。
+
+比如在 $S_3$（长度 7）中找第 6 位，它对应 $S_2$ 的第 $2^3 - 6 = 2$ 位的结果再取反。
+
+```javascript
+var findKthBit = function (n, k) {
+  let flip = false; // 记录需要取反的次数
+  while (n > 1) {
+    let mid = 1 << (n - 1); // 2^(n-1)
+    if (k === mid) {
+      // 中间位固定为 1
+      let res = 1;
+      return (flip ? res ^ 1 : res).toString();
+    } else if (k > mid) {
+      // 如果在右侧，镜像到左侧，并增加一次取反
+      k = 2 * mid - k;
+      flip = !flip;
+    }
+    // 如果在左侧，直接继续看 n-1
+    n--;
+  }
+  // 最终回到 S1，S1 是 "0"
+  let res = 0;
+  return (flip ? res ^ 1 : res).toString();
+};
+```
+
+## mid 为什么是 $2^{n-1}$？
+
+我们通过计算 $S_n$ 的总长度就能推导出中心点（mid）的位置。
+
+**计算 $S_n$ 的总长度**：设 $L_n$ 为第 $n$ 个字符串 $S_n$ 的长度。根据题目规则：
+
+- $S_1 = "0"$，所以 $L_1 = 1$
+- $S_n = S_{n-1} + "1" + \text{修改后的 } S_{n-1}$
+
+那么长度关系式为： $$L_n = L_{n-1} (\text{左半部分}) + 1 (\text{中间位}) + L_{n-1} (\text{右半部分})$$ 即：$L_n = 2 \times L_{n-1} + 1$
+
+我们可以列举一下：
+
+- $L_1 = 1$
+- $L_2 = 2 \times 1 + 1 = 3$
+- $L_3 = 2 \times 3 + 1 = 7$
+- $L_4 = 2 \times 7 + 1 = 15$
+
+规律：$L_n = 2^n - 1$
+
+## 2. 为什么我们要这样找？
+
+这就好比你在一个无限折叠的纸带上找特定的点：
+
+- **原来的做法（模拟）**：先把一张白纸折 20 次，把它变成一个超级长的纸带，然后再从头开始数到第 $k$ 个点。
+- **现在的做法（回溯/迭代）**：看着这张已经“折好”的纸（$S_n$），问：这个 $k$ 点是在折痕的左边还是右边？
+  - 如果它在折痕右边，你就把它“翻”回左边（镜像转换），并记下它被翻过了一次（flip = !flip）。
+  - 如果它在折痕左边，你就直接看左边。
+  - 现在纸变小了一半（n--），你重复这个过程，直到你摸到了那道“折痕”（k === mid）或者纸缩小到不能再缩（n=1）。
+
+## 3. 如果在右侧，且`S[k]=0`，是不是翻转过去说明`S[k]=1`了
+
+为什么“翻转过去”就是 1？
+
+根据题目，$S_i$ 的右半部分是：$\text{reverse}(\text{invert}(S_{i-1}))$。 这里有两个动作：
+
+- 取反 (invert)：这一步让 $0 \to 1$，$1 \to 0$。
+- 反转 (reverse)：这一步让位置左右颠倒。
+
+所以，如果在右半部分看到了一个 0，顺着这两步推回去：
+
+- 因为“取反”过：说明它在被取反之前是 1。
+- 因为“反转”过：说明它对应的位置在左半边的对称点。

app/docs/CommunityShare/Leetcode/index.mdx

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+title: Leetcode 题解汇总
+description: 这里收集了社区分享的所有 Leetcode 刷题笔记和题解。
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+
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+
+# Leetcode 题解
+
+欢迎查阅 Leetcode 相关的分享内容。
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