m7b

M7B_README.md

@@ -0,0 +1,188 @@
+# М7Б. Статистика идеального газа
+
+## Описание
+
+Численное моделирование установления термодинамического равновесия в системе молекул идеального газа, находящихся в вертикальном сосуде в поле тяжести.
+
+### Цели работы
+
+1. **Численное моделирование** движения молекул идеального газа в замкнутом вертикальном сосуде с учётом упругих столкновений со стенками и между собой
+2. **Получение распределений** молекул по скоростям и по высоте в равновесном состоянии
+3. **Сравнение** полученных распределений с теоретическими: распределением Максвелла по скоростям и барометрической формулой для распределения по высоте
+
+## Физические модели
+
+### Динамика молекул
+
+Каждая молекула движется под действием силы тяжести согласно второму закону Ньютона:
+
+$$\frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{g}$$
+
+В декартовых координатах (x, y — горизонтальные, z — вертикальная ось):
+
+$$\frac{dv_x}{dt} = 0, \quad \frac{dv_y}{dt} = 0, \quad \frac{dv_z}{dt} = -g$$
+
+### Распределение Максвелла
+
+В состоянии термодинамического равновесия распределение молекул по скоростям описывается распределением Максвелла:
+
+$$f(v) = 4\pi v^2 \left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2} \exp\left(-\frac{mv^2}{2k_B T}\right)$$
+
+где:
+- m — масса молекулы
+- k_B = 1.38 × 10⁻²³ Дж/К — постоянная Больцмана
+- T — абсолютная температура
+
+### Барометрическая формула
+
+Распределение молекул по высоте в гравитационном поле описывается барометрической формулой:
+
+$$n(z) = n(0) \exp\left(-\frac{mgz}{k_B T}\right)$$
+
+Масштаб высоты:
+$$H_0 = \frac{k_B T}{mg}$$
+
+## Структура кода
+
+### Основные компоненты
+
+```
+src/models/ideal_gas/
+├── __init__.py          # Главный модуль, Streamlit интерфейс
+├── config.py            # Конфигурация и параметры
+├── objects.py           # Классы для моделирования
+├── utils.py             # Вспомогательные функции
+└── charts.py            # Визуализация результатов
+```
+
+### Ключевые классы
+
+#### `SimulationConfig`
+Параметры симуляции:
+- Молекулярные параметры (масса, диаметр)
+- Геометрия сосуда (высота, радиус)
+- Начальные условия (начальная скорость, высота)
+- Параметры времени (общее время, шаг интегрирования)
+- Параметры термостата (опционально)
+
+#### `IdealGasSimulation`
+Основной класс для моделирования:
+- `run()` — запуск симуляции
+- `_velocity_verlet_step()` — интегрирование по методу Velocity Verlet
+- `_handle_collisions()` — обработка столкновений
+- `_handle_wall_collisions()` — отражение от стенок
+- `_handle_intermolecular_collisions()` — упругие столкновения между молекулами
+
+#### `EquilibriumAnalyzer`
+Анализ равновесного состояния:
+- `calculate_temperature()` — определение температуры
+- `calculate_pressure()` — расчёт давления
+
+## Численные методы
+
+### Интегрирование: Velocity Verlet
+
+```
+r(t + dt) = r(t) + v(t) * dt + 0.5 * a(t) * dt²
+v(t + dt) = v(t) + 0.5 * (a(t) + a(t + dt)) * dt
+```
+
+Так как гравитационное ускорение постоянно:
+
+```
+r(t + dt) = r(t) + v(t) * dt + 0.5 * g * dt²
+v_z(t + dt) = v_z(t) - g * dt
+```
+
+### Столкновения между молекулами
+
+Для упругого столкновения двух молекул равной массы используется алгоритм:
+
+1. Вычисляется единичный вектор вдоль линии центров: **n**
+2. Вычисляется относительная скорость в направлении столкновения
+3. Компоненты скоростей вдоль линии столкновения обмениваются
+
+## Использование
+
+### Запуск Streamlit интерфейса
+
+```bash
+streamlit run src/main.py
+```
+
+Затем перейдите к странице М7Б в навигационном меню.
+
+### Параметры симуляции
+
+В боковой панели можно настроить:
+- **Количество молекул** (50-1000)
+- **Высота сосуда** (0.5-5.0 м)
+- **Радиус сосуда** (0.5-3.0 м)
+- **Начальная скорость молекул** (1-50 м/с)
+- **Время симуляции** (1-20 с)
+- **Шаг времени** (0.1-2.0 мс)
+- **Использовать термостат** (опционально)
+
+### Результаты
+
+Симуляция выводит:
+1. **Определённая температура** из кинетической энергии
+2. **Масштаб высоты** барометрической формулы
+3. **Средняя высота молекул**
+4. **Средняя скорость молекул**
+
+### Визуализация
+
+5 вкладок с графиками:
+1. **Распределение скоростей** — сравнение с распределением Максвелла
+2. **Распределение по высоте** — сравнение с барометрической формулой
+3. **Эволюция энергии** — кинетическая, потенциальная и полная энергия
+4. **Эволюция температуры** — изменение температуры во времени
+5. **3D позиции молекул** — визуализация распределения в конечном состоянии
+
+## Тестирование
+
+Запуск тестов:
+
+```bash
+pytest tests/m7b/
+```
+
+Тесты проверяют:
+- **Корректность конфигурации** — валидация параметров
+- **Форму выходных данных** — правильные размеры массивов
+- **Граничные условия** — частицы не выходят за границы
+- **Законы сохранения** — энергия ведёт себя ожидаемо
+- **Утилиты** — расчёты распределений
+- **Численная стабильность** — результаты не расходятся
+
+## Параметры по умолчанию
+
+- **Масса молекулы**: 6.63 × 10⁻²⁶ кг (аргон)
+- **Эффективный диаметр**: 3.4 × 10⁻¹⁰ м
+- **Гравитация**: 9.81 м/с²
+- **Постоянная Больцмана**: 1.38 × 10⁻²³ Дж/К
+
+## Теоретические соотношения
+
+### Средняя кинетическая энергия
+
+$$\left\langle \frac{mv^2}{2} \right\rangle = \frac{3}{2}k_B T$$
+
+Или по компонентам:
+
+$$\left\langle \frac{mv_i^2}{2} \right\rangle = \frac{1}{2}k_B T, \quad i = x, y, z$$
+
+### Средняя высота молекулы
+
+$$\langle z \rangle = H_0 = \frac{k_B T}{mg}$$
+
+### Средняя полная энергия
+
+$$\langle E \rangle = \frac{3}{2}k_B T + k_B T = \frac{5}{2}k_B T$$
+
+## Ссылки
+
+- **PDF отчёта**: M7B-Report.pdf в корне проекта
+- **Метод Verlet**: https://en.wikipedia.org/wiki/Verlet_integration
+- **Распределение Максвелла**: https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%E2%80%93Boltzmann_distribution

M7B_report/conclusion.tex

@@ -0,0 +1,48 @@
+\section{Заключение}
+
+В работе проведено комплексное исследование процесса установления термодинамического равновесия в системе идеального газа, находящегося в вертикальном сосуде в гравитационном поле.
+
+\textbf{Основные достижения:}
+
+\begin{enumerate}
+    \item \textbf{Численное моделирование динамики молекул}
+    \begin{itemize}
+        \item Реализована корректная обработка упругих столкновений молекул между собой и со стенками сосуда
+        \item Использована оптимизация методом ячеек для ускорения вычислений
+    \end{itemize}
+
+    \item \textbf{Исследование процесса релаксации}
+    \begin{itemize}
+        \item Изучен переход системы из неравновесного начального состояния (все молекулы у дна с одинаковой энергией) к термодинамическому равновесию
+        \item Определено характерное время релаксации и его зависимость от параметров системы
+        \item Проверено сохранение полной энергии системы в изолированном режиме
+    \end{itemize}
+
+    \item \textbf{Получение равновесных распределений}
+    \begin{itemize}
+        \item Построено распределение молекул по модулям скоростей и проведено сравнение с распределением Максвелла
+        \item Построено распределение молекул по высоте и проведено сравнение с барометрической формулой
+        \item Проверена факторизация распределений по различным компонентам скорости
+    \end{itemize}
+
+    \item \textbf{Статистический анализ}
+    \begin{itemize}
+        \item Вычислены характерные скорости: наиболее вероятная, средняя и среднеквадратичная
+        \item Определена температура системы из распределения кинетических энергий
+        \item Проверено выполнение теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы
+    \end{itemize}
+
+\end{enumerate}
+
+\textbf{Выводы}
+
+\begin{itemize}
+    \item Численное моделирование методом молекулярной динамики подтверждает основные положения статистической механики
+
+    \item Система молекул идеального газа самопроизвольно переходит из упорядоченного неравновесного состояния в равновесное состояние с максимальной энтропией
+
+    \item В равновесии наблюдается полное согласие с распределением Максвелла-Больцмана, несмотря на детерминированный характер классической механики
+
+
+\end{itemize}
+

M7B_report/intro.tex

@@ -0,0 +1,40 @@
+\newpage
+
+\section{Введение}
+
+\Task Исследование процесса установления термодинамического равновесия в системе идеального газа, находящегося в вертикальном сосуде в поле тяжести. Рассмотрение неравновесного начального состояния, когда все молекулы сосредоточены вблизи дна сосуда и имеют одинаковую кинетическую энергию.
+
+\Goal
+\begin{enumerate}
+    \item Провести численное моделирование движения молекул идеального газа в замкнутом вертикальном сосуде с учётом упругих столкновений со стенками и между собой
+    \item Получить распределения молекул по скоростям и по высоте в равновесном состоянии
+    \item Сравнить полученные распределения с теоретическими: распределением Максвелла по скоростям и барометрической формулой для распределения по высоте
+\end{enumerate}
+
+\section{Физическая постановка задачи}
+\vspace{-1em}
+
+Рассматривается система из $N$ одинаковых молекул идеального газа массой $m$ каждая, находящихся в вертикальном цилиндрическом сосуде высотой $H$ и площадью основания $S$ в гравитационном поле с ускорением $g$.
+
+\textbf{Модель идеального газа предполагает:}
+\begin{enumerate}
+    \item Молекулы -- материальные точки (размеры много меньше расстояний между ними)
+    \item Столкновения молекул между собой и со стенками абсолютно упругие
+    \item Взаимодействие молекул происходит только при столкновениях (потенциальная энергия взаимодействия пренебрежимо мала)
+    \item Стенки сосуда непроницаемы и гладкие
+\end{enumerate}
+
+\textbf{Начальные условия:}
+\begin{itemize}
+    \item Все молекулы находятся в тонком слое вблизи дна: $0 < z < h_0 \ll H$
+    \item Все молекулы имеют одинаковую по модулю скорость $v_0$, направленную случайным образом
+    \item Начальная кинетическая энергия каждой молекулы: $E_0 = \dfrac{mv_0^2}{2}$
+\end{itemize}
+
+\textbf{Рассматриваются два режима:}
+\begin{enumerate}
+    \item \textbf{Изолированная система}: полная энергия $E = const$, стенки теплоизолированы
+    \item \textbf{Термостат}: температура стенок $T = const$, энергия системы флуктуирует
+\end{enumerate}
+
+\newpage

M7B_report/main.tex

@@ -0,0 +1,16 @@
+\input{preamble}
+
+\begin{document}
+
+\input{title}
+\pagestyle{main}
+{
+\centering
+\tableofcontents
+}
+\input{intro}
+\input{models/models}
+\input{numerical_methods}
+\input{conclusion}
+
+\end{document}