Projects/m7b

M7B_report/conclusion.tex

@@ -0,0 +1,48 @@
+\section{Заключение}
+
+В работе проведено комплексное исследование процесса установления термодинамического равновесия в системе идеального газа, находящегося в вертикальном сосуде в гравитационном поле.
+
+\textbf{Основные достижения:}
+
+\begin{enumerate}
+    \item \textbf{Численное моделирование динамики молекул}
+    \begin{itemize}
+        \item Реализована корректная обработка упругих столкновений молекул между собой и со стенками сосуда
+        \item Использована оптимизация методом ячеек для ускорения вычислений
+    \end{itemize}
+
+    \item \textbf{Исследование процесса релаксации}
+    \begin{itemize}
+        \item Изучен переход системы из неравновесного начального состояния (все молекулы у дна с одинаковой энергией) к термодинамическому равновесию
+        \item Определено характерное время релаксации и его зависимость от параметров системы
+        \item Проверено сохранение полной энергии системы в изолированном режиме
+    \end{itemize}
+
+    \item \textbf{Получение равновесных распределений}
+    \begin{itemize}
+        \item Построено распределение молекул по модулям скоростей и проведено сравнение с распределением Максвелла
+        \item Построено распределение молекул по высоте и проведено сравнение с барометрической формулой
+        \item Проверена факторизация распределений по различным компонентам скорости
+    \end{itemize}
+
+    \item \textbf{Статистический анализ}
+    \begin{itemize}
+        \item Вычислены характерные скорости: наиболее вероятная, средняя и среднеквадратичная
+        \item Определена температура системы из распределения кинетических энергий
+        \item Проверено выполнение теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы
+    \end{itemize}
+
+\end{enumerate}
+
+\textbf{Выводы}
+
+\begin{itemize}
+    \item Численное моделирование методом молекулярной динамики подтверждает основные положения статистической механики
+
+    \item Система молекул идеального газа самопроизвольно переходит из упорядоченного неравновесного состояния в равновесное состояние с максимальной энтропией
+
+    \item В равновесии наблюдается полное согласие с распределением Максвелла-Больцмана, несмотря на детерминированный характер классической механики
+
+
+\end{itemize}
+

M7B_report/intro.tex

@@ -0,0 +1,40 @@
+\newpage
+
+\section{Введение}
+
+\Task Исследование процесса установления термодинамического равновесия в системе идеального газа, находящегося в вертикальном сосуде в поле тяжести. Рассмотрение неравновесного начального состояния, когда все молекулы сосредоточены вблизи дна сосуда и имеют одинаковую кинетическую энергию.
+
+\Goal
+\begin{enumerate}
+    \item Провести численное моделирование движения молекул идеального газа в замкнутом вертикальном сосуде с учётом упругих столкновений со стенками и между собой
+    \item Получить распределения молекул по скоростям и по высоте в равновесном состоянии
+    \item Сравнить полученные распределения с теоретическими: распределением Максвелла по скоростям и барометрической формулой для распределения по высоте
+\end{enumerate}
+
+\section{Физическая постановка задачи}
+\vspace{-1em}
+
+Рассматривается система из $N$ одинаковых молекул идеального газа массой $m$ каждая, находящихся в вертикальном цилиндрическом сосуде высотой $H$ и площадью основания $S$ в гравитационном поле с ускорением $g$.
+
+\textbf{Модель идеального газа предполагает:}
+\begin{enumerate}
+    \item Молекулы -- материальные точки (размеры много меньше расстояний между ними)
+    \item Столкновения молекул между собой и со стенками абсолютно упругие
+    \item Взаимодействие молекул происходит только при столкновениях (потенциальная энергия взаимодействия пренебрежимо мала)
+    \item Стенки сосуда непроницаемы и гладкие
+\end{enumerate}
+
+\textbf{Начальные условия:}
+\begin{itemize}
+    \item Все молекулы находятся в тонком слое вблизи дна: $0 < z < h_0 \ll H$
+    \item Все молекулы имеют одинаковую по модулю скорость $v_0$, направленную случайным образом
+    \item Начальная кинетическая энергия каждой молекулы: $E_0 = \dfrac{mv_0^2}{2}$
+\end{itemize}
+
+\textbf{Рассматриваются два режима:}
+\begin{enumerate}
+    \item \textbf{Изолированная система}: полная энергия $E = const$, стенки теплоизолированы
+    \item \textbf{Термостат}: температура стенок $T = const$, энергия системы флуктуирует
+\end{enumerate}
+
+\newpage

M7B_report/main.tex

@@ -0,0 +1,16 @@
+\input{preamble}
+
+\begin{document}
+
+\input{title}
+\pagestyle{main}
+{
+\centering
+\tableofcontents
+}
+\input{intro}
+\input{models/models}
+\input{numerical_methods}
+\input{conclusion}
+
+\end{document}

M7B_report/models/barometric_formula.tex

@@ -0,0 +1,154 @@
+\subsection{Барометрическая формула}
+
+В состоянии термодинамического равновесия газ в гравитационном поле имеет неоднородное распределение плотности по высоте.
+
+\textbf{Вывод барометрической формулы}
+
+Рассмотрим элемент газа между высотами $z$ и $z + dz$. Условие механического равновесия:
+\[
+p(z + dz) \cdot S = p(z) \cdot S + \rho(z) g S dz
+\]
+
+где $p(z)$ -- давление на высоте $z$, $\rho(z)$ -- плотность массы.
+
+Дифференцируя:
+\[
+\dfrac{dp}{dz} = -\rho(z) g
+\]
+
+Используем уравнение состояния идеального газа:
+\[
+p = \dfrac{\rho}{m} k_B T = n(z) k_B T
+\]
+
+где $n(z) = \dfrac{\rho(z)}{m}$ -- концентрация молекул (число молекул на единицу объёма).
+
+Подставляем в условие равновесия:
+\[
+\dfrac{d(n k_B T)}{dz} = -n(z) m g
+\]
+
+Для изотермической атмосферы ($T = const$):
+\[
+\dfrac{dn}{dz} = -\dfrac{mg}{k_B T} n(z)
+\]
+
+\Solution Разделяем переменные и интегрируем:
+\[
+\dfrac{dn}{n} = -\dfrac{mg}{k_B T} dz
+\]
+\[
+\ln n(z) - \ln n(0) = -\dfrac{mgz}{k_B T}
+\]
+
+Получаем \textbf{барометрическую формулу}:
+\[
+\boxed{n(z) = n(0) \exp\left(-\dfrac{mgz}{k_B T}\right)}
+\]
+
+или в терминах давления:
+\[
+p(z) = p(0) \exp\left(-\dfrac{mgz}{k_B T}\right)
+\]
+
+\textbf{Характерная высота атмосферы}
+
+Введём масштаб высоты:
+\[
+H_0 = \dfrac{k_B T}{mg}
+\]
+
+Тогда барометрическая формула принимает вид:
+\[
+n(z) = n(0) e^{-z/H_0}
+\]
+
+\textbf{Распределение молекул по высоте}
+
+Вероятность найти молекулу на высоте между $z$ и $z + dz$ пропорциональна концентрации:
+\[
+\boxed{f(z) = \dfrac{1}{H_0} \exp\left(-\dfrac{z}{H_0}\right)}
+\]
+
+где нормировка:
+\[
+\int_0^\infty f(z) dz = \int_0^\infty \dfrac{1}{H_0} e^{-z/H_0} dz = 1
+\]
+
+\Solution Проверим нормировку:
+\[
+\int_0^\infty \dfrac{1}{H_0} e^{-z/H_0} dz = \dfrac{1}{H_0} \int_0^\infty e^{-z/H_0} dz
+\]
+
+Замена переменной: $u = \dfrac{z}{H_0}$, $dz = H_0 du$:
+\[
+\dfrac{1}{H_0} \int_0^\infty e^{-z/H_0} dz = \dfrac{1}{H_0} \cdot H_0 \int_0^\infty e^{-u} du = \left[-e^{-u}\right]_0^\infty = 0 - (-1) = 1
+\]
+
+\textbf{Средняя высота молекулы}
+
+\Solution Вычислим среднюю высоту:
+\[
+\langle z \rangle = \int_0^\infty z f(z) dz = \int_0^\infty \dfrac{z}{H_0} e^{-z/H_0} dz
+\]
+
+Замена переменной: $u = \dfrac{z}{H_0}$, $z = H_0 u$, $dz = H_0 du$:
+\[
+\langle z \rangle = \int_0^\infty \dfrac{H_0 u}{H_0} e^{-u} H_0 du = H_0 \int_0^\infty u e^{-u} du
+\]
+
+Интегрирование по частям или используя табличный интеграл:
+\[
+\int_0^\infty u e^{-u} du = \Gamma(2) = 1! = 1
+\]
+
+Таким образом:
+\[
+\langle z \rangle = H_0 \cdot 1 = H_0 = \dfrac{k_B T}{mg}
+\]
+
+\textbf{Потенциальная энергия в среднем}
+
+\[
+\langle U \rangle = \langle mgz \rangle = mg \langle z \rangle = mg \cdot \dfrac{k_B T}{mg} = k_B T
+\]
+
+Это согласуется с теоремой о равнораспределении: на каждую "квадратичную"  координату приходится энергия $\dfrac{1}{2}k_B T$, но в гравитационном поле потенциальная энергия линейна по высоте, и среднее значение равно $k_B T$.
+
+\textbf{График барометрического распределения}
+
+\begin{figure}[h]
+\centering
+\begin{tikzpicture}
+\begin{axis}[
+    width=0.8\textwidth,
+    height=7cm,
+    xlabel={Высота $z/H_0$},
+    ylabel={Относительная концентрация $n(z)/n(0)$},
+    grid=major,
+    domain=0:5,
+    ymin=0,
+    ymax=1,
+    samples=200,
+]
+% Барометрическая формула: n(z)/n(0) = exp(-z/H_0)
+\addplot[blue, thick] {exp(-x)};
+\addlegendentry{$n(z)/n(0) = e^{-z/H_0}$}
+
+% Отмечаем характерные высоты
+\draw[dashed, gray] (axis cs:0,0.368) -- (axis cs:5,0.368);
+\draw[dashed, gray] (axis cs:1,0) -- (axis cs:1,1);
+\node[anchor=west, gray] at (axis cs:1.1,0.368) {$e^{-1} \approx 0.37$};
+\node[anchor=north, gray] at (axis cs:1,0.05) {$H_0$};
+\end{axis}
+\end{tikzpicture}
+\caption{Барометрическое распределение в безразмерных единицах. На высоте $z = H_0$ концентрация уменьшается в $e$ раз. Для воздуха при комнатной температуре $H_0 \approx 8.5$ км}
+\end{figure}
+
+Физический смысл:
+\begin{itemize}
+    \item Экспоненциальное убывание концентрации с высотой
+    \item Характерная высота атмосферы $H_0 = k_BT/(mg)$ зависит от температуры и массы молекул
+    \item Для воздуха при комнатной температуре $H_0 \approx 8.5$ км
+    \item Более лёгкие газы (водород, гелий) имеют большую высоту шкалы
+\end{itemize}

M7B_report/models/boltzmann_distribution.tex

@@ -0,0 +1,93 @@
+\subsection{Распределение Максвелла-Больцмана}
+
+Полное распределение молекул в фазовом пространстве координат и импульсов описывается \textbf{распределением Максвелла-Больцмана}.
+
+\textbf{Каноническое распределение Гиббса}
+
+Вероятность найти систему в состоянии с энергией $E$ при температуре $T$:
+\[
+P(E) \propto \exp\left(-\dfrac{E}{k_B T}\right)
+\]
+
+Это называется \textbf{фактором Больцмана}.
+
+\textbf{Распределение одной молекулы}
+
+Для одной молекулы в гравитационном поле полная энергия:
+\[
+E(\vec{r}, \vec{v}) = \dfrac{mv^2}{2} + mgz
+\]
+
+Плотность вероятности в фазовом пространстве:
+\[
+f(\vec{r}, \vec{v}) = C \exp\left(-\dfrac{E(\vec{r}, \vec{v})}{k_B T}\right) = C \exp\left(-\dfrac{mv^2/2 + mgz}{k_B T}\right)
+\]
+
+где $C$ -- константа нормировки.
+
+\Solution Найдём константу нормировки $C$ из условия:
+\[
+\int_{V} d^3r \int_{-\infty}^{\infty} d^3v \, f(\vec{r}, \vec{v}) = 1
+\]
+
+Разделяя экспоненты:
+\[
+f(\vec{r}, \vec{v}) = C \exp\left(-\dfrac{mv^2}{2k_B T}\right) \exp\left(-\dfrac{mgz}{k_B T}\right)
+\]
+
+Интегрируем по скоростям и координатам отдельно, получая:
+\[
+C = \left(\dfrac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2} \cdot \dfrac{mg}{Sk_B T}
+\]
+
+где $S$ -- площадь основания сосуда.
+
+Это распределение факторизуется:
+\[
+f(\vec{r}, \vec{v}) = f(\vec{v}) \cdot f(z)
+\]
+
+где:
+\begin{itemize}
+    \item $f(\vec{v})$ -- распределение Максвелла по скоростям
+    \item $f(z)$ -- барометрическое распределение по высоте
+\end{itemize}
+
+\textbf{Распределение по энергии}
+
+Полная энергия молекулы $E = \dfrac{mv^2}{2} + mgz$ может принимать значения от 0 до $\infty$.
+
+Распределение по полной энергии в термодинамическом равновесии:
+\[
+f(E) \propto \sqrt{E} \exp\left(-\dfrac{E}{k_B T}\right)
+\]
+
+Множитель $\sqrt{E}$ появляется из-за статистического веса -- числа способов реализовать данную энергию.
+
+\textbf{Средняя энергия молекулы}
+
+В трёхмерном пространстве для молекулы в гравитационном поле:
+\[
+\langle E \rangle = \left\langle \dfrac{mv^2}{2} \right\rangle + \langle mgz \rangle
+\]
+
+Из распределения Максвелла: $\left\langle \dfrac{mv^2}{2} \right\rangle = \dfrac{3}{2}k_B T$
+
+Из барометрической формулы: $\langle mgz \rangle = k_B T$
+
+Итого:
+\[
+\boxed{\langle E \rangle = \dfrac{3}{2}k_B T + k_B T = \dfrac{5}{2}k_B T}
+\]
+
+\textbf{Связь с термодинамикой}
+
+Для системы из $N$ молекул идеального газа:
+\begin{itemize}
+    \item Внутренняя энергия (без учёта гравитации): $U = N \cdot \dfrac{3}{2}k_B T = \dfrac{3}{2}NkT = \dfrac{3}{2}\nu RT$
+    \item Теплоёмкость при постоянном объёме: $C_V = \dfrac{\partial U}{\partial T} = \dfrac{3}{2}\nu R$
+    \item Теплоёмкость при постоянном давлении: $C_P = C_V + \nu R = \dfrac{5}{2}\nu R$
+    \item Показатель адиабаты: $\gamma = \dfrac{C_P}{C_V} = \dfrac{5/2}{3/2} = \dfrac{5}{3} \approx 1.67$
+\end{itemize}
+
+где $\nu$ -- число молей, $R = N_A k_B$ -- универсальная газовая постоянная.