feat(M1): electrostatics

m1_report_electro/conclusion.tex

@@ -0,0 +1,39 @@
+\section{Заключение}
+
+В работе проведено численное решение основной задачи электростатики --- нахождение распределения электрического поля в системе двух параллельных плоских электродов методом моментов (двумерная постановка).
+
+\textbf{Основные достижения:}
+
+\begin{enumerate}
+    \item \textbf{Реализация метода моментов}
+    \begin{itemize}
+        \item Реализована дискретизация контуров плоских электродов на равные сегменты
+        \item Составлена и решена система линейных уравнений для нахождения линейных плотностей зарядов сегментов
+        \item Корректно учтён собственный потенциал сегментов (диагональные элементы матрицы)
+    \end{itemize}
+
+    \item \textbf{Расчёт электрического поля}
+    \begin{itemize}
+        \item Вычислена напряжённость электрического поля в пространстве между электродами
+        \item Построены картины силовых линий методом численного интегрирования
+        \item Построены эквипотенциальные линии (контуры постоянного потенциала)
+    \end{itemize}
+
+    \item \textbf{Вычисление ёмкости}
+    \begin{itemize}
+        \item Рассчитана ёмкость системы двух параллельных пластин
+        \item Проведено сравнение с аналитической формулой для бесконечного плоского конденсатора
+        \item Исследована сходимость результатов при увеличении числа сегментов
+    \end{itemize}
+\end{enumerate}
+
+\subsection{Физическая интерпретация}
+
+\textbf{Распределение заряда:}
+
+Линейная плотность заряда на пластинах неоднородна: заряд концентрируется вблизи краёв пластин --- это проявление \textit{краевого эффекта}. Метод моментов позволяет точно учесть эту неоднородность.
+
+\textbf{Краевые эффекты:}
+
+В плоском конденсаторе с пластинами конечной длины поле неоднородно вблизи краёв: силовые линии искривляются, выходя за пределы межэлектродного промежутка. Это приводит к увеличению ёмкости по сравнению с формулой для бесконечных пластин $C_\infty = \varepsilon_0 / d$.
+

m1_report_electro/intro.tex

@@ -0,0 +1,60 @@
+\newpage
+
+\section{Введение}
+
+\Task Два металлических электрода заданной формы поддерживаются при постоянной разности потенциалов $\Delta\varphi = V$. Полные заряды электродов противоположны и одинаковы по модулю. Необходимо найти распределение электрических полей в пространстве между электродами, построить картину силовых линий поля и рассчитать ёмкость системы.
+
+\Goal
+\begin{enumerate}
+    \item Разработать метод триангуляции поверхности проводников для задания геометрии задачи
+    \item Реализовать метод моментов для нахождения распределения зарядов на поверхности проводников
+    \item Рассчитать распределение электрического поля в пространстве между электродами
+    \item Построить картину силовых линий и эквипотенциальных поверхностей
+    \item Вычислить ёмкость системы электродов и сравнить с аналитическими формулами
+\end{enumerate}
+\newpage
+\section{Физическая постановка задачи}
+
+
+Рассматривается \textbf{двумерная} система: два параллельных плоских электрода длиной $a$, расположенных горизонтально на расстоянии $d$ друг от друга. Задача однородна вдоль оси $z$, поэтому всё поле определяется поперечным сечением в плоскости $xy$. Проводники поддерживаются при постоянных потенциалах $\varphi_1 = +V/2$ и $\varphi_2 = -V/2$ (разность потенциалов $\Delta\varphi = V$). Требуется определить распределение линейной плотности зарядов на проводниках и электрическое поле в окружающем пространстве.
+
+\textbf{Геометрия задачи:}
+\[
+  L_1 = \{(x,\; +d/2) \mid x \in [-a/2,\; a/2]\}, \quad \varphi_1 = +V/2
+\]
+\[
+  L_2 = \{(x,\; -d/2) \mid x \in [-a/2,\; a/2]\}, \quad \varphi_2 = -V/2
+\]
+
+\textbf{Основные уравнения электростатики:}
+
+Потенциал электрического поля в вакууме при отсутствии свободных зарядов удовлетворяет \textbf{уравнению Лапласа}:
+\[
+\Delta\varphi = 0
+\]
+
+с граничными условиями на поверхностях проводников:
+\[
+\varphi\big|_{S_1} = \varphi_1 = +\dfrac{V}{2}, \quad \varphi\big|_{S_2} = \varphi_2 = -\dfrac{V}{2}
+\]
+
+и условием на бесконечности:
+\[
+\varphi(\vec{r}) \to 0 \quad \text{при} \quad |\vec{r}| \to \infty
+\]
+
+\textbf{Допущения модели:}
+\begin{itemize}
+    \item Проводники идеальные: в двумерной постановке заряды сосредоточены на граничных контурах
+    \item Среда между проводниками -- вакуум ($\varepsilon = 1$)
+    \item Задача стационарная (токи отсутствуют)
+    \item Электроды изолированы друг от друга, полные заряды равны $+Q$ и $-Q$
+\end{itemize}
+
+\textbf{Физические константы:}
+\begin{itemize}
+    \item $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}$ Ф/м -- электрическая постоянная
+    \item $k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8.988 \times 10^9$ Н$\cdot$м$^2$/Кл$^2$ -- коэффициент Кулона
+\end{itemize}
+
+\newpage

m1_report_electro/main.tex

@@ -0,0 +1,16 @@
+\input{preamble}
+
+\begin{document}
+
+\input{title}
+\pagestyle{main}
+{
+\centering
+\tableofcontents
+}
+\input{intro}
+\input{models/models}
+\input{numerical_methods}
+\input{conclusion}
+
+\end{document}

m1_report_electro/models/capacitance.tex

@@ -0,0 +1,44 @@
+\subsection{Ёмкость системы проводников}
+
+Электрическая ёмкость характеризует способность системы проводников накапливать электрический заряд при заданной разности потенциалов.
+
+\textbf{Определение ёмкости}
+
+Для системы из двух проводников с зарядами $+Q$ и $-Q$ при разности потенциалов $V$:
+\[
+\boxed{C = \dfrac{Q}{V}}
+\]
+
+Полный заряд первого проводника вычисляется как сумма зарядов всех его сегментов:
+\[
+Q = \sum_{j \in L_1} q_j
+\]
+
+\textbf{Энергия электростатического поля}
+
+Энергия системы зарядов выражается через потенциалы и заряды элементов:
+\[
+W = \dfrac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} q_i \varphi_i
+\]
+
+Для двух проводников:
+\[
+W = \dfrac{1}{2} Q V = \dfrac{CV^2}{2} = \dfrac{Q^2}{2C}
+\]
+
+Энергию можно также вычислить через напряжённость поля:
+\[
+W = \dfrac{\varepsilon_0}{2} \int \vec{E}^2 \, dV
+\]
+
+Совпадение двух способов вычисления энергии служит проверкой корректности решения.
+
+\textbf{Аналитическая формула для плоского конденсатора}
+
+\textit{Плоский конденсатор} --- бесконечные пластины на расстоянии $d$ (на единицу длины):
+\[
+\boxed{C_{\infty} = \dfrac{\varepsilon_0}{d}}
+\]
+
+Для пластин конечной длины $a$ необходимо учитывать \textbf{краевые эффекты} --- искривление поля вблизи торцов пластин, которое увеличивает ёмкость по сравнению с формулой для бесконечных пластин. Численный метод моментов автоматически учитывает эти эффекты.
+

m1_report_electro/models/method_of_moments.tex

@@ -0,0 +1,74 @@
+\subsection{Метод моментов}
+
+Метод моментов --- численный метод решения интегральных уравнений электростатики, основанный на дискретизации контура проводников.
+
+\textbf{Интегральное уравнение задачи}
+
+Граничное условие постоянства потенциала в центре $i$-го сегмента:
+\[
+-\dfrac{1}{2\pi\varepsilon_0} \int_{L} \lambda(s') \ln|\vec{r}_i - \vec{r}'| \, ds' = \varphi_i, \quad \vec{r}_i \in L_i
+\]
+
+Это \textbf{интегральное уравнение Фредгольма первого рода} относительно неизвестной линейной плотности заряда $\lambda(s')$.
+
+\textbf{Дискретизация контура}
+
+Контур каждого электрода разбивается на $N_{\text{пл}}$ сегментов равной длины $\Delta l$. Каждый сегмент $j$ характеризуется:
+\begin{itemize}
+    \item Центром $\vec{r}_j$ (середина отрезка)
+    \item Длиной $\Delta l_j$
+    \item Зарядом $q_j = \lambda_j \cdot \Delta l_j$ (линейная плотность заряда постоянна в пределах сегмента)
+\end{itemize}
+
+Общее число сегментов: $N = 2 N_{\text{пл}}$.
+
+\textbf{Дискретная форма интегрального уравнения}
+
+Потенциал в центре $i$-го сегмента от всех остальных ($j \neq i$):
+\[
+\varphi_i = -\dfrac{1}{2\pi\varepsilon_0} \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{N} q_j \ln|\vec{r}_i - \vec{r}_j| + \varphi_i^{\mathrm{self}}
+\]
+
+\textbf{Собственный потенциал сегмента}
+
+Равномерно заряженный отрезок длиной $\Delta l_i$ создаёт в своём центре потенциал:
+\[
+\varphi_i^{\mathrm{self}} = \dfrac{q_i}{2\pi\varepsilon_0}\!\left(1 - \ln\dfrac{\Delta l_i}{2}\right)
+\]
+
+\textbf{Система линейных уравнений}
+
+Записывая условие постоянства потенциала для каждого из $N$ сегментов, получаем СЛАУ:
+\[
+\boxed{\sum_{j=1}^{N} A_{ij} q_j = \varphi_i, \quad i = 1, 2, \ldots, N}
+\]
+
+Элементы матрицы взаимодействия $\mathbf{A}$:
+\[
+A_{ij} = \begin{cases}
+-\dfrac{1}{2\pi\varepsilon_0} \ln|\vec{r}_i - \vec{r}_j|, & i \neq j \\[1em]
+\dfrac{1}{2\pi\varepsilon_0}\!\left(1 - \ln\dfrac{\Delta l_i}{2}\right), & i = j
+\end{cases}
+\]
+
+Правая часть:
+\[
+\varphi_i = \begin{cases}
++V/2, & \text{элемент } i \in L_1 \\
+-V/2, & \text{элемент } i \in L_2
+\end{cases}
+\]
+
+В матричной форме: $\mathbf{A}\vec{q} = \vec{\varphi}$, где $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{N \times N}$ --- симметричная матрица.
+
+\textbf{Восстановление поля после решения}
+
+После нахождения зарядов $q_j$ электрическое поле в произвольной точке $\vec{r}$ вне проводников:
+\[
+\vec{E}(\vec{r}) = \dfrac{1}{2\pi\varepsilon_0} \sum_{j=1}^{N} q_j \dfrac{\vec{r} - \vec{r}_j}{|\vec{r} - \vec{r}_j|^2}
+\]
+
+Потенциал:
+\[
+\varphi(\vec{r}) = -\dfrac{1}{2\pi\varepsilon_0} \sum_{j=1}^{N} q_j \ln|\vec{r} - \vec{r}_j|
+\]

m1_report_electro/models/models.tex

@@ -0,0 +1,8 @@
+\section{Физические модели}
+
+\input{models/potential_theory}
+\newpage
+\input{models/method_of_moments}
+\newpage
+\input{models/capacitance}
+\newpage

m1_report_electro/models/potential_theory.tex

@@ -0,0 +1,71 @@
+\subsection{Теория потенциала и электрическое поле}
+
+\textbf{Потенциал системы зарядов}
+
+В двумерной задаче электрический потенциал, создаваемый распределением линейной плотности заряда $\lambda(s')$ вдоль контура $L$, в точке $\vec{r}$ определяется:
+\[
+\varphi(\vec{r}) = -\dfrac{1}{2\pi\varepsilon_0} \int_L \lambda(s') \ln|\vec{r} - \vec{r}'| \, ds'
+\]
+
+Для системы из двух электродов с контурами $L_1$ и $L_2$:
+\[
+\varphi(\vec{r}) = -\dfrac{1}{2\pi\varepsilon_0} \left[ \int_{L_1} \lambda_1(s') \ln|\vec{r} - \vec{r}'| \, ds' + \int_{L_2} \lambda_2(s') \ln|\vec{r} - \vec{r}'| \, ds' \right]
+\]
+
+\textbf{Граничные условия на поверхности проводника}
+
+На поверхности идеального проводника выполняются условия:
+\begin{enumerate}
+    \item Потенциал постоянен: $\varphi\big|_S = \varphi_0$
+    \item Электрическое поле перпендикулярно поверхности: $\vec{E}_\tau\big|_S = 0$
+    \item Нормальная компонента поля связана с плотностью заряда:
+    \[
+    E_n\big|_S = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}
+    \]
+\end{enumerate}
+
+\textbf{Электрическое поле}
+
+Напряжённость электрического поля выражается через потенциал:
+\[
+\vec{E}(\vec{r}) = -\nabla\varphi(\vec{r})
+\]
+
+Для дискретного набора заряженных сегментов с зарядами $q_j$ в центрах $\vec{r}_j$ (двумерный случай):
+\[
+\vec{E}(\vec{r}) = \dfrac{1}{2\pi\varepsilon_0} \sum_{j=1}^{N} q_j \dfrac{\vec{r} - \vec{r}_j}{|\vec{r} - \vec{r}_j|^2}
+\]
+
+\textbf{Силовые линии электрического поля}
+
+Силовые линии -- кривые, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора $\vec{E}$. Уравнение силовых линий:
+\[
+\dfrac{dx}{E_x} = \dfrac{dy}{E_y} = \dfrac{dz}{E_z}
+\]
+
+Для построения силовых линий численно интегрируется система ОДУ:
+\[
+\dfrac{d\vec{r}}{ds} = \dfrac{\vec{E}(\vec{r})}{|\vec{E}(\vec{r})|}
+\]
+
+где $s$ -- параметр вдоль линии (длина дуги).
+
+Силовые линии начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. Плотность силовых линий пропорциональна напряжённости поля.
+
+\textbf{Эквипотенциальные поверхности}
+
+Эквипотенциальные поверхности -- множества точек с одинаковым потенциалом:
+\[
+\varphi(\vec{r}) = C = const
+\]
+
+Они всюду перпендикулярны силовым линиям. Густота эквипотенциальных поверхностей пропорциональна напряжённости поля.
+
+\textbf{Аналитические решения для простых конфигураций}
+
+\textit{Плоской конденсатор} (бесконечные пластины на расстоянии $d$):
+\[
+\varphi(y) = V\dfrac{y}{d}, \quad E_y = \dfrac{V}{d} = \text{const}
+\]
+
+Это решение используется для верификации численного метода (в пределе $a \gg d$).