M3 magnetostatics

M3_report/conclusion.tex

@@ -0,0 +1,33 @@
+\section{Заключение}
+
+В работе реализовано численное моделирование движения заряженной частицы в магнитной ловушке, образованной двумя соосными токовыми кольцами.
+
+\textbf{Основные результаты:}
+
+\begin{enumerate}
+    \item \textbf{Вычисление магнитного поля}
+    \begin{itemize}
+        \item Реализован расчёт поля кольца с током через эллиптические интегралы
+        \item Построена картина силовых линий в меридиональной плоскости
+        \item Подтверждена структура «магнитного зеркала»: максимумы поля у колец и минимум в центре
+    \end{itemize}
+
+    \item \textbf{Моделирование траекторий}
+    \begin{itemize}
+        \item Реализован интегратор РК4 для уравнений движения в поле Лоренца
+        \item Сохранение кинетической энергии подтверждает корректность алгоритма
+        \item Визуализированы захваченные и транзитные траектории
+    \end{itemize}
+
+    \item \textbf{Условия удержания}
+    \begin{itemize}
+        \item Численно подтверждено существование критического начального угла скорости
+        \item Доля захваченных частиц растёт при увеличении пробочного отношения $R_m$
+    \end{itemize}
+\end{enumerate}
+
+\subsection{Физический смысл}
+
+Магнитная ловушка удерживает частицы за счёт эффекта магнитного зеркала: у кольца поле сильнее, и частица, летящая к нему, «разворачивается» обратно. Частицы, летящие почти вдоль оси, зеркало не останавливает --- они вылетают через торцы ловушки.
+
+Именно по этому принципу работают реальные термоядерные установки типа «пробкотрон».

M3_report/intro.tex

@@ -0,0 +1,53 @@
+\newpage
+
+\section{Введение}
+
+\Task Два одинаковых кольца с током расположены в параллельных плоскостях, токи направлены в одну сторону. В пространстве между кольцами образуется магнитная ловушка --- область, способная удерживать заряженные частицы. Такие устройства используются, например, для удержания горячей термоядерной плазмы. Необходимо реализовать алгоритм расчёта траектории пробного заряда в такой ловушке.
+
+\Goal
+\begin{enumerate}
+    \item Вычислить магнитное поле системы двух токовых колец в произвольной точке пространства
+    \item Реализовать численное интегрирование уравнений движения заряженной частицы
+    \item Визуализировать траектории частиц и картину магнитного поля
+    \item Исследовать, при каких начальных условиях частица удерживается в ловушке
+\end{enumerate}
+
+\newpage
+\section{Физическая постановка задачи}
+
+Рассматриваются два одинаковых круговых витка с током, расположенных симметрично:
+
+\[
+    \text{Кольцо 1:} \quad z = +d/2, \quad \text{радиус } R, \quad \text{ток } I
+\]
+\[
+    \text{Кольцо 2:} \quad z = -d/2, \quad \text{радиус } R, \quad \text{ток } I
+\]
+
+Токи в обоих кольцах текут в одном направлении. Пробный заряд $q$ с массой $m$ движется в магнитном поле этой системы.
+
+\textbf{Уравнение движения:}
+
+На движущийся заряд действует сила Лоренца:
+\[
+    \vec{F} = q\,\vec{v} \times \vec{B}(\vec{r})
+\]
+
+Второй закон Ньютона даёт:
+\[
+    m\,\ddot{\vec{r}} = q\,\dot{\vec{r}} \times \vec{B}(\vec{r})
+\]
+
+\textbf{Важное свойство:} сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости, поэтому она не совершает работы. Это означает, что модуль скорости (и кинетическая энергия) частицы не изменяется:
+\[
+    |\vec{v}| = \text{const}
+\]
+
+\textbf{Параметры системы:}
+\begin{itemize}
+    \item $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ Гн/м --- магнитная постоянная
+    \item Радиус колец $R$ и расстояние между ними $d$
+    \item Заряд $q$ и масса $m$ пробной частицы
+\end{itemize}
+
+\newpage

M3_report/main.tex

@@ -0,0 +1,17 @@
+\input{preamble}
+
+\begin{document}
+
+\input{title}
+\pagestyle{main}
+{
+\centering
+\tableofcontents
+}
+\input{intro}
+\input{models/models}
+\input{numerical_methods}
+\input{results}
+\input{conclusion}
+
+\end{document}

M3_report/models/lorentz_motion.tex

@@ -0,0 +1,25 @@
+\subsection{Движение заряженной частицы в магнитном поле}
+
+\subsubsection{Уравнения движения}
+
+Запишем уравнение $m\ddot{\vec{r}} = q\,\vec{v} \times \vec{B}$ как систему ОДУ первого порядка. Обозначим $\vec{r} = (x, y, z)$, $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$:
+
+\[
+\begin{cases}
+\dot{x} = v_x, \quad \dot{y} = v_y, \quad \dot{z} = v_z \\[0.5em]
+\dot{v}_x = \dfrac{q}{m}(v_y B_z - v_z B_y) \\[0.5em]
+\dot{v}_y = \dfrac{q}{m}(v_z B_x - v_x B_z) \\[0.5em]
+\dot{v}_z = \dfrac{q}{m}(v_x B_y - v_y B_x)
+\end{cases}
+\]
+
+Магнитное поле $\vec{B} = (B_x, B_y, B_z)$ вычисляется в текущей точке $\vec{r}(t)$.
+
+\subsubsection{Сохранение энергии}
+
+Поскольку сила Лоренца не совершает работы:
+\[
+\mathcal{E}_k = \frac{m|\vec{v}|^2}{2} = \text{const}
+\]
+
+Это свойство используется как проверка точности: если $|\vec{v}|$ изменяется, значит шаг интегрирования слишком велик.

M3_report/models/magnetic_field.tex

@@ -0,0 +1,43 @@
+\subsection{Магнитное поле токового кольца}
+
+Поле прямого проводника или бесконечной катушки выражается простыми формулами, но для \textit{кольца} аналитического выражения в замкнутой форме не существует. Поле вычисляется через специальные функции --- полные эллиптические интегралы $K(k)$ и $E(k)$.
+
+\subsubsection{Поле одного кольца}
+
+Рассмотрим кольцо радиуса $R$ с током $I$ в плоскости $z = z_0$. Из-за осевой симметрии удобно использовать цилиндрические координаты $(\rho, z)$, где $\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$. Ненулевые компоненты поля:
+
+\[
+B_\rho = \frac{\mu_0 I}{2\pi} \cdot \frac{z - z_0}{\rho \sqrt{(\rho + R)^2 + (z-z_0)^2}}
+\left[ -K(k) + \frac{R^2 + \rho^2 + (z-z_0)^2}{(R - \rho)^2 + (z-z_0)^2} E(k) \right]
+\]
+
+\[
+B_z = \frac{\mu_0 I}{2\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{(\rho + R)^2 + (z-z_0)^2}}
+\left[ K(k) - \frac{R^2 - \rho^2 - (z-z_0)^2}{(R - \rho)^2 + (z-z_0)^2} E(k) \right]
+\]
+
+где параметр $k$:
+\[
+k^2 = \frac{4R\rho}{(\rho + R)^2 + (z - z_0)^2}
+\]
+
+Прямо на оси ($\rho = 0$) формула упрощается до знакомого вида:
+\[
+B_z\big|_{\rho=0} = \frac{\mu_0 I R^2}{2\left[R^2 + (z - z_0)^2\right]^{3/2}}
+\]
+
+\subsubsection{Суммарное поле двух колец}
+
+Поле системы двух колец --- это просто сумма полей каждого из них (принцип суперпозиции):
+\[
+\vec{B}(\vec{r}) = \vec{B}^{(1)}(\vec{r}) + \vec{B}^{(2)}(\vec{r})
+\]
+
+\subsubsection{Почему это ловушка?}
+
+При одинаковых направлениях токов поле вблизи каждого кольца усиливается, а в центре между ними --- ослабевает. Отношение максимального поля к минимальному называется \textbf{пробочным отношением}:
+\[
+R_m = \frac{B_{\max}}{B_{\min}} > 1
+\]
+
+Именно это неравенство и обеспечивает удержание частиц.

M3_report/models/models.tex

@@ -0,0 +1,8 @@
+\section{Физические модели}
+
+\input{models/magnetic_field}
+\newpage
+\input{models/lorentz_motion}
+\newpage
+\input{models/trapping_condition}
+\newpage

M3_report/models/trapping_condition.tex

@@ -0,0 +1,17 @@
+\subsection{Условия удержания в магнитной ловушке}
+
+\subsubsection{Почему частица может отразиться?}
+
+Когда частица движется в сторону более сильного поля (к кольцу), её поперечная скорость растёт, а продольная убывает --- так как $|\vec{v}|$ сохраняется. Если поле достаточно сильное, продольная скорость обращается в ноль и частица отражается назад --- как мяч, брошенный вверх.
+
+Это и есть \textbf{эффект магнитного зеркала}.
+
+\subsubsection{Условие захвата}
+
+Частица \textbf{захватывается} ловушкой, если она отражается от обоих колец. Это зависит от соотношения продольной и поперечной составляющих начальной скорости. Частицы, летящие почти вдоль оси (преимущественно продольная скорость), пролетают сквозь зеркала --- они \textbf{теряются}.
+
+Ключевой параметр --- \textbf{пробочное отношение} $R_m = B_{\max}/B_{\min}$: чем оно больше, тем более широкий диапазон начальных условий приводит к захвату.
+
+\subsubsection{Статистика траекторий}
+
+Для изучения захвата проводится серия расчётов со случайными начальными условиями. Для каждой траектории определяется исход: \textbf{захвачена} или \textbf{потеряна}. По результатам строится зависимость доли захваченных частиц от начального направления скорости и пробочного отношения $R_m$.

M3_report/numerical_methods.tex

@@ -0,0 +1,73 @@
+\section{Численные методы решения}
+
+\subsection{Вычисление магнитного поля}
+
+\subsubsection{Перевод координат}
+
+Для вычисления поля кольца в точке $(x, y, z)$ сначала находим цилиндрический радиус:
+\[
+\rho = \sqrt{x^2 + y^2}
+\]
+
+Затем по формулам из раздела 2 находим компоненты $(B_\rho, B_z)$ и переводим в декартовы:
+\[
+B_x = B_\rho \cdot \frac{x}{\rho}, \qquad B_y = B_\rho \cdot \frac{y}{\rho}
+\]
+
+При $\rho = 0$ (точка на оси) используется упрощённая осевая формула, чтобы не делить на ноль.
+
+\subsubsection{Эллиптические интегралы}
+
+Значения $K(k)$ и $E(k)$ вычисляются встроенными функциями \texttt{scipy.special.ellipk} и \texttt{scipy.special.ellipe}.
+
+\subsection{Интегрирование уравнений движения}
+
+\subsubsection{Метод Рунге--Кутты 4-го порядка (РК4)}
+
+Система ОДУ решается методом РК4. Обозначим вектор состояния:
+\[
+\vec{u} = (x,\; y,\; z,\; v_x,\; v_y,\; v_z)^\top
+\]
+
+Один шаг метода:
+\begin{align*}
+    \vec{k}_1 &= h\,\vec{f}(\vec{u}_n) \\
+    \vec{k}_2 &= h\,\vec{f}(\vec{u}_n + \vec{k}_1/2) \\
+    \vec{k}_3 &= h\,\vec{f}(\vec{u}_n + \vec{k}_2/2) \\
+    \vec{k}_4 &= h\,\vec{f}(\vec{u}_n + \vec{k}_3) \\[0.5em]
+    \vec{u}_{n+1} &= \vec{u}_n + \frac{1}{6}(\vec{k}_1 + 2\vec{k}_2 + 2\vec{k}_3 + \vec{k}_4)
+\end{align*}
+
+где $\vec{f}(\vec{u})$ --- правая часть системы из раздела~2.2.
+
+\subsubsection{Выбор шага}
+
+Шаг интегрирования должен быть значительно меньше характерного периода вращения частицы в поле:
+\[
+T_c = \frac{2\pi m}{|q| B}
+\]
+\[
+h = \frac{T_c}{N_{\text{шаг}}}, \quad N_{\text{шаг}} \approx 100
+\]
+
+\subsubsection{Проверка точности}
+
+После каждого шага проверяем, что модуль скорости не изменился:
+\[
+\frac{\bigl||\vec{v}_{n+1}| - |\vec{v}_0|\bigr|}{|\vec{v}_0|} < 10^{-5}
+\]
+
+Если это условие нарушается, шаг нужно уменьшить.
+
+\subsection{Классификация траекторий}
+
+\begin{enumerate}
+    \item Задаём начальные условия: положение $\vec{r}_0$ и скорость $\vec{v}_0$
+    \item Интегрируем уравнения движения
+    \item На каждом шаге проверяем: вышла ли частица за пределы ловушки ($|z| > z_{\text{bound}}$)
+    \begin{itemize}
+        \item Если да --- частица \textbf{потеряна}
+        \item Если время симуляции истекло, а частица внутри --- частица \textbf{захвачена}
+    \end{itemize}
+    \item Повторяем для набора начальных условий и строим статистику
+\end{enumerate}

M3_report/preamble.tex

@@ -0,0 +1,103 @@
+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+
+\usepackage{geometry}
+% задание полей текста
+\geometry{left=10mm,right=10mm,top=20mm,bottom=20mm}
+\usepackage{listings}
+\usepackage{cmap}					% поиск в PDF
+\usepackage[T2A]{fontenc}			% кодировка
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[english, russian]{babel}	% локализация и переносы
+\usepackage{natbib}
+
+\usepackage{graphicx}
+\graphicspath{{pix/}}
+\usepackage{pgfplots}
+\usetikzlibrary{arrows}
+\pgfplotsset{width=10cm,compat=1.18}
+\pgfkeys{/pgf/trig format=rad}
+
+
+\usepackage{xcolor}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{bm}
+\usepackage{enumerate}
+\usepackage[normalem]{ulem}
+\usepackage{titlesec}
+
+% Настройка форматирования section для центрирования без растягивания
+\titleformat{\section}
+  {\normalfont\Large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
+\titleformat{\subsection}
+  {\normalfont\large\bfseries\centering}{\thesubsection}{1em}{}
+\titleformat{\subsubsection}
+  {\normalfont\normalsize\bfseries\centering}{\thesubsubsection}{1em}{}
+
+\usepackage{hyperref}
+\hypersetup{
+    colorlinks=true,
+    linkcolor=blue,
+    filecolor=blue,
+    urlcolor=blue,
+    citecolor=blue
+}
+
+
+\setlength\parindent{0pt}
+
+
+\sloppy                     % строго соблюдать границы текста
+\linespread{1.2}            % коэффициент межстрочного интервала
+\setlength{\parskip}{0.5em} % вертик. интервал между абзацами
+
+\setcounter{secnumdepth}{0} % отключение нумерации разделов
+\binoppenalty=1000          % уменьшение переносов в формулах
+
+% объявление новых макрокоманд
+
+\newcommand{\Def}{\textbf{Def.} }
+\newcommand{\Th}{\textbf{Теорема.} }
+\newcommand{\Thbd}{\textbf{Теорема (б/д).} }
+\newcommand{\Theor}[1]{\textbf{Теорема ({#1}).} }
+\newcommand{\Theorbd}[1]{\textbf{Теорема ({#1}) (б/д).} }
+\newcommand{\Consequence}{\textbf{Следствие.} }
+\newcommand{\Remind}{\textbf{Remind.} }
+\newcommand{\Note}{\textbf{Note.} }
+\newcommand{\Statement}{\textbf{Утверждение.} }
+\newcommand{\Prop}{\textbf{Свойство:} }
+\newcommand{\Props}{\textbf{Свойства:} }
+\newcommand{\Proof}{\textbf{Доказательство:} }
+\newcommand{\Prooff}{\textbf{Доказать:} }
+\newcommand{\Solution}{\textbf{Решение:} }
+\newcommand{\Alg}{\textbf{Algorithm.} }
+\newcommand{\Lemma}{\textbf{Лемма.} }
+\newcommand{\Example}{\textbf{Пример:} }
+\newcommand{\Task}{\textbf{Задача.} }
+\newcommand{\Goal}{\textbf{Цель работы:} }
+\newcommand{\Solve}{\textbf{Решение:} }
+\newcommand{\Examples}{\textbf{Примеры.} }
+
+\newpagestyle{main}{
+  \setheadrule{.4pt}
+  \sethead{}{\bullet \; \textit{Цифровизация физических процессов} \; \bullet}{}
+  \setfootrule{.4pt}
+  \setfoot{ВШПИ МФТИ}{М3. Магнитная пробка}{Б13-402}
+}
+
+\allowdisplaybreaks[4]
+
+\newcommand{\Endproof}{$\blacksquare$ }
+
+\newcommand{\tr}{\text{tr}}
+\newcommand{\Le}{\leqslant}
+\newcommand{\Ge}{\geqslant}
+\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
+\newcommand{\M}{\mathcal{M}}
+\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
+\newcommand{\Gs}{\mathcal{G}}
+\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
+\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
+\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
+\newcommand{\Norm}{\mathcal{N}}
+\newcommand{\ind}{\perp \!\!\! \perp}