M5 tunnel diode

M5_tunnel_report/conclusion.tex

@@ -0,0 +1,30 @@
+\section{Заключение}
+
+В работе смоделирована работа автогенератора колебаний на туннельном диоде.
+
+\textbf{Основные результаты:}
+
+\begin{enumerate}
+    \item \textbf{Модель цепи}
+    \begin{itemize}
+        \item Составлена система двух ОДУ из законов Кирхгофа
+        \item ВАХ диода аппроксимирована кубической параболой с участком отрицательного сопротивления
+    \end{itemize}
+
+    \item \textbf{Условие автогенерации}
+    \begin{itemize}
+        \item Автогенерация возникает, когда $R < R_{\text{кр}} = -I_D'(U^*)\cdot L/C$
+        \item Рабочая точка должна лежать на участке с отрицательным дифференциальным сопротивлением
+    \end{itemize}
+
+    \item \textbf{Режимы колебаний}
+    \begin{itemize}
+        \item При высокой добротности $Q$ и малой надкритичности --- почти чистая синусоида
+        \item При малом $R$ --- релаксационные (нелинейные) колебания большой амплитуды
+        \item Максимальная амплитуда ограничена шириной рабочего участка ВАХ
+    \end{itemize}
+\end{enumerate}
+
+\subsection{Физический смысл}
+
+Туннельный диод компенсирует потери энергии в резисторе за счёт участка с отрицательным сопротивлением --- контур «подкачивается» энергией от источника $\mathcal{E}$ через диод. При балансе потерь и генерации устанавливаются незатухающие колебания --- предельный цикл на фазовой плоскости.

M5_tunnel_report/intro.tex

@@ -0,0 +1,59 @@
+\newpage
+
+\section{Введение}
+
+\Task Туннельный диод --- это элемент с нелинейной вольт-амперной характеристикой (ВАХ), которая имеет участок с \textbf{отрицательным дифференциальным сопротивлением} (ток убывает с ростом напряжения). Этот участок позволяет построить автогенератор --- устройство, которое само поддерживает незатухающие колебания без внешнего источника переменного сигнала.
+
+Схема генератора содержит катушку индуктивности $L$, конденсатор $C$, резистор $R$ и туннельный диод $D$, питающиеся от источника постоянного напряжения $\mathcal{E}$.
+
+ВАХ диода при $U_D > 0$ аппроксимируется кубической параболой:
+\[
+    I_D(U_D) = aU_D^3 + bU_D^2 + cU_D, \qquad
+    a = 4\;\frac{\text{мА}}{\text{В}^3},\quad
+    b = -16\;\frac{\text{мА}}{\text{В}^2},\quad
+    c = 17\;\frac{\text{мА}}{\text{В}}
+\]
+При $U_D < 0$: $I_D = 0$.
+
+\Goal
+\begin{enumerate}
+    \item Составить уравнения, описывающие работу схемы
+    \item Реализовать численное решение этих уравнений
+    \item Исследовать режимы работы в зависимости от параметров $R$, $C$, $L$
+    \item Найти условия автогенерации и получения чистой синусоиды
+    \item Определить максимальную амплитуду колебаний
+\end{enumerate}
+
+\newpage
+\section{Физическая постановка задачи}
+
+Рассматривается схема: источник $\mathcal{E}$, резистор $R$, параллельный колебательный контур $LC$ и туннельный диод $D$ --- все соединены последовательно.
+
+\textbf{Обозначения:}
+\begin{itemize}
+    \item $U_C$ --- напряжение на конденсаторе
+    \item $I_L$ --- ток через катушку
+    \item $U_D = U_C$ --- напряжение на диоде (диод параллелен контуру)
+\end{itemize}
+
+\textbf{Уравнения цепи} (из законов Кирхгофа):
+
+Для тока через конденсатор:
+\[
+    C\,\frac{dU_C}{dt} = I_L - I_D(U_C)
+\]
+
+Для тока через катушку:
+\[
+    L\,\frac{dI_L}{dt} = \mathcal{E} - R\,I_L - U_C
+\]
+
+Это система двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Её и нужно решать численно.
+
+\textbf{Параметры системы:}
+\begin{itemize}
+    \item $\mathcal{E}$ --- напряжение питания (выбирается в рабочей точке на участке с отрицательным сопротивлением)
+    \item $R$, $C$, $L$ --- параметры, от которых зависит режим работы
+\end{itemize}
+
+\newpage

M5_tunnel_report/main.tex

@@ -0,0 +1,17 @@
+\input{preamble}
+
+\begin{document}
+
+\input{title}
+\pagestyle{main}
+{
+\centering
+\tableofcontents
+}
+\input{intro}
+\input{models/models}
+\input{numerical_methods}
+\input{results}
+\input{conclusion}
+
+\end{document}

M5_tunnel_report/models/autogeneration.tex

@@ -0,0 +1,28 @@
+\subsection{Режимы работы генератора}
+
+\subsubsection{Условие автогенерации}
+
+Автогенерация возникает, когда отрицательное сопротивление диода компенсирует потери в резисторе. Из условия $\gamma_{\text{eff}} < 0$:
+\[
+\frac{R}{L} + \frac{I_D'(U^*)}{C} < 0
+\quad \Longleftrightarrow \quad
+I_D'(U^*) < -\frac{RC}{L}
+\]
+
+Поскольку $I_D'(U^*) < 0$ на рабочем участке, это выполняется при достаточно малом $R$ и достаточно большом $L/C$.
+
+\subsubsection{Чистая синусоида}
+
+При малой амплитуде колебания близки к синусоидальным. Это возможно, если:
+\begin{itemize}
+    \item Рабочая точка лежит вблизи минимума $|r_D|$ (наиболее «мягкое» возбуждение)
+    \item Добротность контура $Q = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}$ достаточно велика --- контур хорошо фильтрует гармоники
+\end{itemize}
+
+При большой добротности нелинейные члены ВАХ слабо влияют на форму сигнала --- генератор работает как почти линейный.
+
+\subsubsection{Максимальная амплитуда}
+
+Амплитуда колебаний ограничена нелинейностью ВАХ: при нарастании колебаний отрицательное сопротивление уменьшается по модулю, пока не установится баланс между генерацией и потерями. Максимальная амплитуда определяется из условия, что средняя мощность, отдаваемая диодом, равна мощности, рассеиваемой в $R$.
+
+Численно это соответствует установившемуся циклу на фазовой плоскости $(U_C, I_L)$ --- \textbf{предельному циклу}.

M5_tunnel_report/models/models.tex

@@ -0,0 +1,8 @@
+\section{Физические модели}
+
+\input{models/vac}
+\newpage
+\input{models/oscillations}
+\newpage
+\input{models/autogeneration}
+\newpage

M5_tunnel_report/models/oscillations.tex

@@ -0,0 +1,44 @@
+\subsection{Колебания в контуре}
+
+\subsubsection{Система уравнений}
+
+Запишем систему в виде, удобном для численного решения. Введём вектор состояния $(U_C, I_L)$:
+
+\[
+\begin{cases}
+\dfrac{dU_C}{dt} = \dfrac{1}{C}\bigl[I_L - I_D(U_C)\bigr] \\[1em]
+\dfrac{dI_L}{dt} = \dfrac{1}{L}\bigl[\mathcal{E} - R\,I_L - U_C\bigr]
+\end{cases}
+\]
+
+Это нелинейная система из-за члена $I_D(U_C)$.
+
+\subsubsection{Линеаризация вблизи рабочей точки}
+
+Вблизи рабочей точки $(U^*, I^*)$ введём малые отклонения $u = U_C - U^*$, $\,i = I_L - I^*$. Тогда:
+\[
+\begin{cases}
+C\,\dot{u} = i - I_D'(U^*)\cdot u \\[0.5em]
+L\,\dot{i} = -R\,i - u
+\end{cases}
+\]
+
+Это линейная система. Её решение --- затухающие или нарастающие колебания в зависимости от знака \textbf{эффективного затухания}:
+\[
+\gamma_{\text{eff}} = \frac{R}{2L} + \frac{I_D'(U^*)}{2C}
+\]
+
+\begin{itemize}
+    \item $\gamma_{\text{eff}} > 0$ --- колебания затухают, генерации нет
+    \item $\gamma_{\text{eff}} < 0$ --- колебания нарастают, возникает автогенерация
+    \item $\gamma_{\text{eff}} = 0$ --- граница генерации
+\end{itemize}
+
+\subsubsection{Собственная частота контура}
+
+В линейном приближении контур колеблется на частоте:
+\[
+\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}
+\]
+
+При нелинейном режиме (большие амплитуды) форма колебаний отличается от синусоиды.

M5_tunnel_report/models/vac.tex

@@ -0,0 +1,27 @@
+\subsection{Вольт-амперная характеристика туннельного диода}
+
+ВАХ туннельного диода имеет нестандартную форму: после начального роста тока он \textit{убывает} при увеличении напряжения --- это участок \textbf{отрицательного дифференциального сопротивления}.
+
+Аппроксимация кубической параболой при $U_D > 0$:
+\[
+I_D(U_D) = aU_D^3 + bU_D^2 + cU_D
+\]
+\[
+a = 4\;\frac{\text{мА}}{\text{В}^3},\quad b = -16\;\frac{\text{мА}}{\text{В}^2},\quad c = 17\;\frac{\text{мА}}{\text{В}}
+\]
+
+При $U_D \Le 0$: $\;I_D = 0$.
+
+\textbf{Дифференциальное сопротивление диода} --- это производная ВАХ:
+\[
+r_D(U_D) = \frac{1}{I_D'(U_D)} = \frac{1}{3aU_D^2 + 2bU_D + c}
+\]
+
+На участке, где $I_D'(U_D) < 0$, дифференциальное сопротивление отрицательно. Именно этот участок обеспечивает генерацию.
+
+\textbf{Рабочая точка} --- равновесие системы, при котором напряжение $U_C = U^*$ и ток $I_L = I^*$ не меняются. Она определяется пересечением нагрузочной прямой с ВАХ:
+\[
+I^* = \frac{\mathcal{E} - U^*}{R}, \qquad I^* = I_D(U^*)
+\]
+
+Для автогенерации рабочую точку выбирают на участке с отрицательным сопротивлением.

M5_tunnel_report/numerical_methods.tex

@@ -0,0 +1,43 @@
+\section{Численные методы решения}
+
+\subsection{Метод Рунге--Кутты 4-го порядка (РК4)}
+
+Система двух ОДУ решается методом РК4. Обозначим вектор состояния:
+\[
+\vec{u} = (U_C,\; I_L)^\top, \qquad \dot{\vec{u}} = \vec{f}(\vec{u})
+\]
+
+Один шаг метода:
+\begin{align*}
+    \vec{k}_1 &= h\,\vec{f}(\vec{u}_n) \\
+    \vec{k}_2 &= h\,\vec{f}(\vec{u}_n + \vec{k}_1/2) \\
+    \vec{k}_3 &= h\,\vec{f}(\vec{u}_n + \vec{k}_2/2) \\
+    \vec{k}_4 &= h\,\vec{f}(\vec{u}_n + \vec{k}_3) \\[0.5em]
+    \vec{u}_{n+1} &= \vec{u}_n + \frac{1}{6}(\vec{k}_1 + 2\vec{k}_2 + 2\vec{k}_3 + \vec{k}_4)
+\end{align*}
+
+\subsection{Выбор шага интегрирования}
+
+Шаг выбирается значительно меньше периода колебаний:
+\[
+h \ll T_0 = 2\pi\sqrt{LC}
+\]
+Обычно достаточно $h = T_0 / 1000$.
+
+\subsection{Нахождение рабочей точки}
+
+Рабочая точка $(U^*, I^*)$ находится численно как пересечение нагрузочной прямой с ВАХ:
+\[
+f(U) = I_D(U) - \frac{\mathcal{E} - U}{R} = 0
+\]
+решается методом бисекции или \texttt{scipy.optimize.brentq} на интервале $[0,\, \mathcal{E}]$.
+
+\subsection{Анализ результатов}
+
+После численного решения проводится:
+\begin{enumerate}
+    \item \textbf{Фазовый портрет} --- график $(U_C(t),\, I_L(t))$. Предельный цикл указывает на установившиеся колебания.
+    \item \textbf{Временна́я зависимость} $U_C(t)$ --- оценка формы (синусоида или нет) и амплитуды.
+    \item \textbf{Спектр} --- быстрое преобразование Фурье (\texttt{numpy.fft}) для оценки чистоты синусоиды: чем меньше высшие гармоники, тем чище сигнал.
+    \item \textbf{Параметрическое исследование} --- сканирование по $R$, $C$, $L$ для построения карты режимов.
+\end{enumerate}

M5_tunnel_report/preamble.tex

@@ -0,0 +1,100 @@
+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+
+\usepackage{geometry}
+% задание полей текста
+\geometry{left=10mm,right=10mm,top=20mm,bottom=20mm}
+\usepackage{listings}
+\usepackage{cmap}					% поиск в PDF
+\usepackage[T2A]{fontenc}			% кодировка
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[english, russian]{babel}	% локализация и переносы
+\usepackage{natbib}
+
+\usepackage{graphicx}
+\graphicspath{{pix/}}
+\usepackage{pgfplots}
+\usetikzlibrary{arrows,patterns}
+\pgfplotsset{width=10cm,compat=newest}
+\pgfkeys{/pgf/trig format=rad}
+
+
+\usepackage{xcolor}
+\usepackage{hyperref}
+\hypersetup{
+    colorlinks=true,
+    linkcolor=blue,
+    filecolor=blue,
+    urlcolor=blue,
+    citecolor=blue
+}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{bm}
+\usepackage{enumerate}
+\usepackage[normalem]{ulem}
+\usepackage{titlesec}
+
+% Настройка форматирования section для центрирования без растягивания
+\titleformat{\section}
+  {\normalfont\Large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
+\titleformat{\subsection}
+  {\normalfont\large\bfseries\centering}{\thesubsection}{1em}{}
+\titleformat{\subsubsection}
+  {\normalfont\normalsize\bfseries\centering}{\thesubsubsection}{1em}{}
+
+\setlength\parindent{0pt}
+
+\sloppy                     % строго соблюдать границы текста
+\linespread{1.2}            % коэффициент межстрочного интервала
+\setlength{\parskip}{0.5em} % вертик. интервал между абзацами
+
+\setcounter{secnumdepth}{0} % отключение нумерации разделов
+\binoppenalty=1000          % уменьшение переносов в формулах
+
+% объявление новых макрокоманд
+
+\newcommand{\Def}{\textbf{Def.} }
+\newcommand{\Th}{\textbf{Теорема.} }
+\newcommand{\Thbd}{\textbf{Теорема (б/д).} }
+\newcommand{\Theor}[1]{\textbf{Теорема ({#1}).} }
+\newcommand{\Theorbd}[1]{\textbf{Теорема ({#1}) (б/д).} }
+\newcommand{\Consequence}{\textbf{Следствие.} }
+\newcommand{\Remind}{\textbf{Remind.} }
+\newcommand{\Note}{\textbf{Note.} }
+\newcommand{\Statement}{\textbf{Утверждение.} }
+\newcommand{\Prop}{\textbf{Свойство:} }
+\newcommand{\Props}{\textbf{Свойства:} }
+\newcommand{\Proof}{\textbf{Доказательство:} }
+\newcommand{\Prooff}{\textbf{Доказать:} }
+\newcommand{\Solution}{\textbf{Решение:} }
+\newcommand{\Alg}{\textbf{Algorithm.} }
+\newcommand{\Lemma}{\textbf{Лемма.} }
+\newcommand{\Example}{\textbf{Пример:} }
+\newcommand{\Task}{\textbf{Задача.} }
+\newcommand{\Goal}{\textbf{Цель работы:} }
+\newcommand{\Solve}{\textbf{Решение:} }
+\newcommand{\Examples}{\textbf{Примеры.} }
+
+\allowdisplaybreaks[4]
+
+\newcommand{\Endproof}{$\blacksquare$ }
+
+\newcommand{\tr}{\text{tr}}
+\newcommand{\Le}{\leqslant}
+\newcommand{\Ge}{\geqslant}
+\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
+\newcommand{\M}{\mathcal{M}}
+\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
+\newcommand{\Gs}{\mathcal{G}}
+\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
+\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
+\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
+\newcommand{\Norm}{\mathcal{N}}
+\newcommand{\ind}{\perp \!\!\! \perp}
+
+\newpagestyle{main}{
+  \setheadrule{.4pt}
+  \sethead{}{\bullet \; \textit{Цифровизация физических процессов} \; \bullet}{}
+  \setfootrule{.4pt}
+  \setfoot{ВШПИ МФТИ}{М5. Автогенератор на туннельном диоде}{Б13-402}
+}