M11 diffraction

M11_report/conclusion.tex

@@ -0,0 +1,34 @@
+\newpage
+\section{Заключение}
+
+В работе реализовано численное моделирование дифракции плоской монохроматической волны на плоских препятствиях по принципу Гюйгенса--Френеля.
+
+\textbf{Основные результаты:}
+
+\begin{enumerate}
+    \item \textbf{Методы вычисления}
+    \begin{itemize}
+        \item Реализовано прямое суммирование (точное, но медленное)
+        \item Реализован метод углового спектра через БПФ (точный, $O(N^2\log N)$)
+        \item Реализовано приближение Френеля через БПФ для дальней зоны
+    \end{itemize}
+
+    \item \textbf{Модели препятствий}
+    \begin{itemize}
+        \item Щель: аналитически подтверждена формула $\sinc^2$
+        \item Круглое отверстие: воспроизведены кольца Эйри и колебания оси при изменении числа зон Френеля
+        \item Двойная щель: наблюдена интерференционная картина Юнга с правильным периодом
+        \item Дифракционная решётка: подтверждено соотношение разрешающей способности $\mathcal{R} = mN$
+    \end{itemize}
+
+    \item \textbf{Предельные случаи}
+    \begin{itemize}
+        \item $F \gg 1$: геометрическая оптика --- резкая тень
+        \item $F \sim 1$: дифракция Френеля --- осцилляции с неравной огибающей
+        \item $F \ll 1$: дифракция Фраунгофера --- картина совпадает с преобразованием Фурье апертуры
+    \end{itemize}
+\end{enumerate}
+
+\subsection{Физический смысл}
+
+Число Френеля $F = a^2/(\lambda z)$ является единственным управляющим параметром, определяющим режим дифракции. При $F \to \infty$ волновые эффекты исчезают и восстанавливается геометрическая оптика. Принцип Гюйгенса--Френеля позволяет единым образом описать все три режима и является основой современной вычислительной оптики.

M11_report/intro.tex

@@ -0,0 +1,37 @@
+\newpage
+
+\section{Введение}
+
+\Task Дифракция --- это явление отклонения волн от прямолинейного распространения при встрече с препятствиями или отверстиями, размеры которых сравнимы с длиной волны. Численное моделирование дифракции позволяет наблюдать переход между различными режимами: геометрической оптикой, дифракцией Фраунгофера и дифракцией Френеля.
+
+В основе вычислений лежит \textbf{принцип Гюйгенса--Френеля}: каждая точка волнового фронта является источником вторичных сферических волн, а результирующее поле в точке наблюдения есть суперпозиция этих волн с учётом их амплитуд и фаз.
+
+\Goal
+\begin{enumerate}
+    \item Реализовать численное вычисление интеграла Гюйгенса--Френеля для плоских препятствий
+    \item Исследовать дифракцию на щели, круглом отверстии, двух щелях и дифракционной решётке
+    \item Наблюдать предельные случаи: дифракцию Фраунгофера ($F \ll 1$), дифракцию Френеля ($F \sim 1$) и геометрическую оптику ($F \gg 1$)
+    \item Сравнить численные результаты с аналитическими формулами
+\end{enumerate}
+
+\newpage
+\section{Физическая постановка задачи}
+
+\subsection{Принцип Гюйгенса--Френеля}
+
+Рассмотрим плоскую монохроматическую волну, падающую нормально на непрозрачный экран с отверстием $\Sigma$ в плоскости $z = 0$. Комплексная амплитуда поля в точке наблюдения $P = (x, y, z)$ при $z > 0$ даётся интегралом Кирхгофа--Гюйгенса:
+\[
+    U(P) = \frac{1}{i\lambda} \iint_{\Sigma} U_0(\xi, \eta)\,
+    \frac{e^{ikr}}{r}\,\cos\theta\; d\xi\,d\eta,
+\]
+где $r = \sqrt{(x-\xi)^2 + (y-\eta)^2 + z^2}$ --- расстояние от точки отверстия $(\xi, \eta)$ до точки наблюдения, $k = 2\pi/\lambda$ --- волновое число, $\cos\theta \approx z/r$ --- фактор наклона.
+
+\subsection{Число Френеля}
+
+Характеристический безразмерный параметр задачи:
+\[
+    F = \frac{a^2}{\lambda z},
+\]
+где $a$ --- характерный размер апертуры. При $F \ll 1$ --- режим Фраунгофера, при $F \sim 1$ --- режим Френеля, при $F \gg 1$ --- геометрическая оптика.
+
+\newpage

M11_report/main.tex

@@ -0,0 +1,17 @@
+\input{preamble}
+
+\begin{document}
+
+\input{title}
+\pagestyle{main}
+{
+\centering
+\tableofcontents
+}
+\input{intro}
+\input{models/models}
+\input{numerical_methods}
+\input{results}
+\input{conclusion}
+
+\end{document}

M11_report/models/models.tex

@@ -0,0 +1,48 @@
+\section{Модели препятствий}
+\subsection{Щель}
+Одна щель шириной $2a$, центрированная по оси $\xi = 0$, задаётся функцией пропускания:
+\[
+    t(\xi, \eta) = \begin{cases} 1, & |\xi| \Le a, \\ 0, & \text{иначе.} \end{cases}
+\]
+Аналитическое решение в приближении Фраунгофера (для 1D):
+\[
+    I(x) \propto \left(\frac{\sin u}{u}\right)^2, \qquad u = \frac{\pi a x}{\lambda z}.
+\]
+
+\subsection{Круглое отверстие}
+
+Круглое отверстие радиуса $R$:
+\[
+    t(\xi, \eta) = \begin{cases} 1, & \xi^2 + \eta^2 \Le R^2, \\ 0, & \text{иначе.} \end{cases}
+\]
+В дальней зоне картина обладает осевой симметрией --- кольца Эйри. Интенсивность на оси:
+\[
+    I(\rho) \propto \left(\frac{2J_1(v)}{v}\right)^2, \qquad v = \frac{k R \rho}{z},
+\]
+где $J_1$ --- функция Бесселя первого рода.
+
+\subsection{Две щели}
+
+Две щели шириной $2a$, расположенные симметрично с центрами при $\xi = \pm d$:
+\[
+    t(\xi, \eta) = \begin{cases} 1, & |\xi - d| \Le a \;\text{или}\; |\xi + d| \Le a, \\ 0, & \text{иначе.} \end{cases}
+\]
+Картина Фраунгофера --- произведение огибающей одиночной щели и интерференционного множителя:
+\[
+    I(x) \propto \left(\frac{\sin u}{u}\right)^2 \cos^2(v),
+    \quad u = \frac{\pi a x}{\lambda z},\quad v = \frac{\pi d x}{\lambda z}.
+\]
+
+\subsection{Дифракционная решётка}
+
+$N$ щелей шириной $2a$ с периодом $p$ ($p > 2a$):
+\[
+    t(\xi, \eta) = \begin{cases} 1, & \exists\, m \in \{0,\ldots,N-1\}: |\xi - m p| \Le a, \\ 0, & \text{иначе.} \end{cases}
+\]
+Картина Фраунгофера:
+\[
+    I(x) \propto \left(\frac{\sin u}{u}\right)^2
+    \left(\frac{\sin(N v)}{N \sin v}\right)^2,
+    \quad u = \frac{\pi a x}{\lambda z},\quad v = \frac{\pi p x}{\lambda z}.
+\]
+Главные максимумы (порядки решётки) расположены при $v = m\pi$, т.е. при $x_m = m\lambda z / p$.

M11_report/numerical_methods.tex

@@ -0,0 +1,53 @@
+\newpage
+\section{Численные методы}
+
+\subsection{Прямое численное интегрирование (метод Гюйгенса--Френеля)}
+
+Интеграл Гюйгенса--Френеля вычисляется методом прямоугольников по дискретной сетке в плоскости апертуры:
+\[
+    U(x,y) \approx \frac{1}{i\lambda} \sum_{m,n} t(\xi_m, \eta_n)\,
+    \frac{e^{ikr_{mn}}}{r_{mn}}\cdot\frac{z}{r_{mn}}\;\Delta\xi\,\Delta\eta,
+\]
+где $r_{mn} = \sqrt{(x-\xi_m)^2 + (y-\eta_n)^2 + z^2}$.
+
+Сложность метода $O(N_\text{ap}^2 \cdot N_\text{obs}^2)$, что допустимо для умеренных сеток ($N \sim 10^2$--$10^3$). Метод точен во всех режимах (Фраунгофер, Френель, геометрическая оптика).
+
+\subsection{Быстрое вычисление через БПФ (приближение Френеля)}
+
+В приближении Френеля интеграл является \textbf{дискретной свёрткой}:
+\[
+    U(x,y) = \frac{e^{ikz}}{i\lambda z}
+    \iint t(\xi,\eta)\,e^{\frac{ik}{2z}[(\xi-x)^2+(\eta-y)^2]}\,d\xi\,d\eta,
+\]
+которая вычисляется за $O(N^2 \log N)$ через быстрое преобразование Фурье:
+\[
+    U = \mathcal{F}^{-1}\!\left[\mathcal{F}[t \cdot Q_1] \cdot Q_2\right],
+\]
+где $Q_1$, $Q_2$ --- фазовые множители:
+\[
+    Q_1(\xi,\eta) = e^{\frac{ik}{2z}(\xi^2+\eta^2)}, \qquad
+    Q_2(f_x, f_y) = e^{-i\pi\lambda z(f_x^2+f_y^2)}.
+\]
+
+\subsection{Метод углового спектра}
+
+Для произвольного расстояния $z$ без параксиального приближения используется метод углового спектра:
+\[
+    \hat{U}(f_x, f_y, z) = \hat{U}_0(f_x, f_y) \cdot
+    \exp\!\left[iz\sqrt{k^2 - (2\pi f_x)^2 - (2\pi f_y)^2}\right].
+\]
+Метод корректен для любого $z$, включая ближнее поле, и реализуется через два БПФ.
+
+\subsection{Критерий выбора метода}
+
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|l|c|c|c|}
+\hline
+\textbf{Метод} & \textbf{Режим} & \textbf{Сложность} & \textbf{Точность} \\
+\hline
+Прямое суммирование & любой & $O(N^4)$ & высокая \\
+БПФ Френеля & $F \lesssim 10^3$ & $O(N^2\log N)$ & параксиальная \\
+Угловой спектр & любой & $O(N^2\log N)$ & высокая \\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}

M11_report/preamble.tex

@@ -0,0 +1,100 @@
+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+
+\usepackage{geometry}
+% задание полей текста
+\geometry{left=10mm,right=10mm,top=20mm,bottom=20mm}
+\usepackage{listings}
+\usepackage{cmap}					% поиск в PDF
+\usepackage[T2A]{fontenc}			% кодировка
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[english, russian]{babel}	% локализация и переносы
+\usepackage{natbib}
+
+\usepackage{graphicx}
+\graphicspath{{pix/}}
+\usepackage{pgfplots}
+\usetikzlibrary{arrows,patterns}
+\pgfplotsset{width=10cm,compat=newest}
+\pgfkeys{/pgf/trig format=rad}
+
+
+\usepackage{xcolor}
+\usepackage{hyperref}
+\hypersetup{
+    colorlinks=true,
+    linkcolor=blue,
+    filecolor=blue,
+    urlcolor=blue,
+    citecolor=blue
+}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{bm}
+\usepackage{enumerate}
+\usepackage[normalem]{ulem}
+\usepackage{titlesec}
+
+% Настройка форматирования section для центрирования без растягивания
+\titleformat{\section}
+  {\normalfont\Large\bfseries\centering}{\thesection}{1em}{}
+\titleformat{\subsection}
+  {\normalfont\large\bfseries\centering}{\thesubsection}{1em}{}
+\titleformat{\subsubsection}
+  {\normalfont\normalsize\bfseries\centering}{\thesubsubsection}{1em}{}
+
+\setlength\parindent{0pt}
+
+\sloppy                     % строго соблюдать границы текста
+\linespread{1.2}            % коэффициент межстрочного интервала
+\setlength{\parskip}{0.5em} % вертик. интервал между абзацами
+
+\setcounter{secnumdepth}{0} % отключение нумерации разделов
+\binoppenalty=1000          % уменьшение переносов в формулах
+
+% объявление новых макрокоманд
+
+\newcommand{\Def}{\textbf{Def.} }
+\newcommand{\Th}{\textbf{Теорема.} }
+\newcommand{\Thbd}{\textbf{Теорема (б/д).} }
+\newcommand{\Theor}[1]{\textbf{Теорема ({#1}).} }
+\newcommand{\Theorbd}[1]{\textbf{Теорема ({#1}) (б/д).} }
+\newcommand{\Consequence}{\textbf{Следствие.} }
+\newcommand{\Remind}{\textbf{Remind.} }
+\newcommand{\Note}{\textbf{Note.} }
+\newcommand{\Statement}{\textbf{Утверждение.} }
+\newcommand{\Prop}{\textbf{Свойство:} }
+\newcommand{\Props}{\textbf{Свойства:} }
+\newcommand{\Proof}{\textbf{Доказательство:} }
+\newcommand{\Prooff}{\textbf{Доказать:} }
+\newcommand{\Solution}{\textbf{Решение:} }
+\newcommand{\Alg}{\textbf{Algorithm.} }
+\newcommand{\Lemma}{\textbf{Лемма.} }
+\newcommand{\Example}{\textbf{Пример:} }
+\newcommand{\Task}{\textbf{Задача.} }
+\newcommand{\Goal}{\textbf{Цель работы:} }
+\newcommand{\Solve}{\textbf{Решение:} }
+\newcommand{\Examples}{\textbf{Примеры.} }
+
+\allowdisplaybreaks[4]
+
+\newcommand{\Endproof}{$\blacksquare$ }
+
+\newcommand{\tr}{\text{tr}}
+\newcommand{\Le}{\leqslant}
+\newcommand{\Ge}{\geqslant}
+\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
+\newcommand{\M}{\mathcal{M}}
+\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
+\newcommand{\Gs}{\mathcal{G}}
+\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
+\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
+\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
+\newcommand{\Norm}{\mathcal{N}}
+\newcommand{\ind}{\perp \!\!\! \perp}
+
+\newpagestyle{main}{
+  \setheadrule{.4pt}
+  \sethead{}{\bullet \; \textit{Цифровизация физических процессов} \; \bullet}{}
+  \setfootrule{.4pt}
+  \setfoot{ВШПИ МФТИ}{М11. Дифракция}{Б13-402}
+}

M11_report/results.tex

@@ -0,0 +1,42 @@
+\newpage
+\section{Результаты}
+
+\subsection{Щель: переход между режимами}
+
+Для щели шириной $a = 0.5$~мм при $\lambda = 633$~нм исследовалась зависимость картины от расстояния $z$:
+
+\begin{itemize}
+    \item \textbf{$F \gg 1$ (геометрическая оптика)}: при $z = 1$~мм ($F \approx 400$) наблюдается прямоугольная тень --- интенсивность практически равна $I_0$ внутри и нулю снаружи геометрической тени.
+    \item \textbf{$F \sim 1$ (дифракция Френеля)}: при $z = 40$~см ($F \approx 1$) появляются характерные осцилляции Френеля с неравными максимумами и интенсивностью на оси, превышающей падающую.
+    \item \textbf{$F \ll 1$ (дифракция Фраунгофера)}: при $z = 10$~м ($F \approx 0.04$) картина воспроизводит функцию $\sinc^2$: центральный максимум с боковыми долями, нули при $x_m = m\lambda z/a$.
+\end{itemize}
+
+\subsection{Круглое отверстие: зоны Френеля}
+
+Для отверстия радиуса $R$ интенсивность на оси определяется числом открытых зон Френеля:
+\[
+    N_F = \frac{R^2}{\lambda z}, \qquad
+    I_{\text{ось}} = \begin{cases} 4I_0, & N_F \text{ нечётное}, \\ 0, & N_F \text{ чётное.} \end{cases}
+\]
+Численный расчёт воспроизводит эти колебания при изменении $z$. В дальней зоне формируется кольцевая картина Эйри с угловым радиусом первого нуля $\theta = 1.22\,\lambda / (2R)$.
+
+\subsection{Двойная щель: опыт Юнга}
+
+Для двух щелей с $a = 0.1$~мм, $d = 0.5$~мм получена интерференционная картина с периодом:
+\[
+    \Delta x = \frac{\lambda z}{2d}.
+\]
+Огибающая определяется дифракцией на одной щели. При увеличении $z$ картина растягивается, при уменьшении переходит в режим Френеля с искажением интерференционных полос.
+
+\subsection{Дифракционная решётка}
+
+Для решётки из $N = 10$ щелей ($a = 0.05$~мм, $p = 0.2$~мм):
+\begin{itemize}
+    \item Главные максимумы расположены при $\sin\theta_m = m\lambda/p$
+    \item Угловая дисперсия $D = m / (p\cos\theta_m)$
+    \item Разрешающая способность $\mathcal{R} = mN$
+    \item Между соседними главными максимумами наблюдается $N-2 = 8$ побочных максимумов
+\end{itemize}
+
+При увеличении $N$ главные максимумы сужаются обратно пропорционально $N$, что воспроизводится численно.
+

M11_report/title.tex

@@ -0,0 +1,17 @@
+\begin{titlepage}
+    \centering
+    {\scshape\Large Московский физико-технический институт \par}
+    \vspace{1cm}
+    {\scshape\Large Высшая школа программной инженерии \par}
+    \vspace{2cm}
+    {\huge \textbf{М11. Дифракция} \par}
+    \vspace{1.5cm}
+    {\Large \textit{Численное моделирование дифракции плоской монохроматической волны на плоских препятствиях по принципу Гюйгенса--Френеля} \par}
+    \vspace{2cm}
+    {\Large Выполнили студенты Б13-402: \par}
+    {\Large Жердев Егор \par}
+    {\Large Савельев Данил \par}
+    \vfill
+    {\large Долгопрудный \par}
+    {\large \today \par}
+\end{titlepage}