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Author: igorizidro

aplicacoes/matrizes-simetricas.md

@@ -1,9 +1,9 @@
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-title: Máximos e mínimos utilizando matrizes simétricas
+title: 12. Máximos e mínimos utilizando matrizes simétricas
 subject: Aplicações
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-### Máximos e mínimos locais de funções de duas variáveis
+# Máximos e mínimos locais de funções de duas variáveis
 
 A modelagem matemática de fenômenos físicos (em áreas como Mecânica Clássica, Termodinâmica, Óptica, etc.), de processos da Engenharia e Economia - entre outras atividades de grande relevância para o empreendimento humano - naturalmente recai sobre o estudo de funções de múltiplas variáveis, uma vez que estes lidam com intricados fatores que interagem entre si e dependem uns dos outros. Em particular, **funções de duas variáveis** aparecem com bastante frequência nos exemplos citados.
 
@@ -13,7 +13,7 @@ Munidos das ferramentas do Cálculo, as propriedades de [matrizes simétricas e
 
 A ideia central é analisarmos as propriedades da ***matriz Hessiana***, uma das principais ferramentas do Cálculo Vetorial, que é constituída das derivadas parciais de segunda ordem da função, que naturalmente nos fornecem informações sobre os pontos de máximo e mínimo, chamados **pontos críticos**.
 
-:::{prf:definition} Matriz Hessiana
+:::{note} Definição 12.1 Matriz Hessiana
 
 Dada uma função $f(x,y)$, sua ***matriz Hessiana*** é dada por
 

aplicacoes/quadradosminimos.md

@@ -1,8 +1,8 @@
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-title: Resolução de sistemas lineares por Quadrados Mínimos
+title: 14. Resolução de sistemas lineares por Quadrados Mínimos
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-### O Problema de Quadrados Mínimos
+# O Problema de Quadrados Mínimos
 
 Suponha que na modelagem de um determinado problema chegue-se ao seguinte sistema linear, o qual deseja-se determinar as incógnitas $x$ e $y$:
 
@@ -81,7 +81,7 @@ $$
 
 O que por sua vez nos dá $A^{T}(b-A\bar{x})=0$. Essa equação, comumente escrita como $\boxed{A^{T}A\bar{x}=A^{T}b}$, é chamada de ***equação normal*** e é a base para a solução do problema $Ax=b$ através da abordagem desenvolvida até aqui, denominada de ***Método dos Quadrados Mínimos*** (o nome vem da análise do problema do ponto de vista do Cálculo, que procura **minimizar o erro quadrático** $\lVert b-A\bar{x} \rVert^{2}$, resultando na mesma equação normal). 
 
-### Soluções da Equação Normal
+# Soluções da Equação Normal
 
 Consideremos primeiramente o caso mais simples, quando $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$, com $m\geq n$, possui posto completo (ou seja, $n$). Pelo [](#pre-teorema-valores-singulares) e a equivalência entre transformações lineares e matrizes, sabemos que o posto de $A^{T}A$, que é $n \times n$, também será $n$. Logo, $A^{T}A$ é invertível e podemos resolver $A^{T}A\bar{x}=A^{T}b$ por:
 
@@ -101,11 +101,11 @@ O mesmo acontece quando $Ax=b$ é **possível e indeterminado**. Nesse caso, $A^
 
 Uma vez que $Ax=b$ é um **sistema impossível**, as soluções (ou a solução única, no caso $m \geq n$ e posto completo) de $A^{T}A\bar{x}=A^{T}b$ são **soluções aproximadas** de $Ax=b$, com base no critério de minimizar $\lVert b - A\bar{x} \rVert$.
 
-### Caso geral e pseudoinversa
+# Caso geral e pseudoinversa
 
 Utilizando a pseudoinversa de Moore-Penrose, dada por [](#def-pseudoinversa), podemos resolver $A^{T}Ax=A^{T}b$ no caso geral, que independe da quantidade de linhas e colunas, assim como do posto de $A$. 
 
-:::{prf:theorem}
+:::{important} Teorema 14.1
 :label: teo-pseudoinversa-postocompleto
 
 Quando $A \in \mathbb{R}^{m\times n}$ possui $m\geq n$ e posto completo, a solução única da equação normal $A^{T}A\bar{x}=A^{T}b$ é dada por:
@@ -116,7 +116,8 @@ $$
 
 :::
 
-:::{prf:proof}
+:::{tip} Demonstração 14.1
+:class: dropdown
 
 Uma vez que $A$ tem $m\geq n$ e posto completo, então seu posto é igual a $n$. Consequentemente, $A^{T}A$ é invertível e a solução da equação normal é dada unicamente por $\bar{x}=(A^{T}A)^{-1}A^{T}b$. Seja $A=U\Sigma V^{T}$, substituindo e utilizando o fato que $U$ e $V$ são matrizes ortogonais, obtemos o seguinte:
 
@@ -141,7 +142,7 @@ Concluímos que, quando $m\geq n$ e $A$ tem posto completo, $(A^{T}A)^{-1}A^{T}=
 
 Agora, estendemos esse resultado para o caso geral, onde $A^{+}b$ nos dará uma solução única para a equação normal em função de um critério específico.
 
-:::{prf:theorem} 
+:::{important} Teorema 14.2
 
 $A^{+}b$ fornece a solução da equação normal $A^{T}A\bar{x}=A^{T}b$ **que possui norma mínima**, seja qual for a matriz $A$. Isto é, se $\hat{x}=A^{+}b$, então:
 
@@ -151,7 +152,8 @@ $$
 
 :::
 
-:::{prf:proof}
+:::{tip} Demonstração 14.2
+:class: dropdown
 
 Começamos verificando que $A^{+}b$ é solução de $A^{T}A\bar{x}=A^{T}b$. Seja $A=U\Sigma V^{T}$,
 
@@ -198,7 +200,7 @@ Donde concluímos que $\lVert \bar{x} \rVert\geq \lVert \hat{x} \rVert$ e teremo
 
 Com isso, temos uma solução geral para o problema de Quadrados Mínimos, e ainda, única pelo critério de norma mínima (mesmo que a equação normal possua infinitas soluções).
 
-### Exemplos numéricos
+# Exemplos numéricos
 
 Voltando ao sistema inicial {eq}`sistema-exemplo`, encontraremos sua solução aproximada via quadrados mínimos utilizando a inversa da matriz $A^{T}A$ (pois como já vimos, a matriz associada a esse sistema tem posto completo).
 

aplicacoes/svd.md

@@ -1,9 +1,9 @@
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-title: Compressão de imagens utilizando Decomposição em Valores Singulares
+title: 13. Compressão de imagens utilizando Decomposição em Valores Singulares
 subject: Aplicações
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-### Contextualização
+# Contextualização
 
 Um dos principais exemplos de como matrizes podem ser aplicadas no meio computacional é o processamento de imagens. Em geral, a maioria dos softwares lidam com imagens tratando-as como uma matriz de *pixels* (à nível de manipulação e processamento, já o armazenamento em disco é feito utilizando outros formatos mais eficientes, como os conhecidos formatos *.JPG*, *.PNG*, entre outros), com dimensões correspondentes as da resolução da imagem. 
 
@@ -17,7 +17,7 @@ O conceito de *comprimir* uma imagem consiste em reduzir o seu tamanho (a quanti
 
 Nesse tópico, mostraremos uma implementação (relativamente simples) desse método de compressão na linguagem *Python*, fazendo uso dos conceitos vistos no tópico de [Valores Singulares](../topicos/valores-singulares.md) e recursos oferecidos por bibliotecas da linguagem Python. Analisaremos os efeitos da compressão em uma imagem de teste, considerando valores diferentes para o posto $k$ de aproximação.
 
-### O Algoritmo
+# O Algoritmo
 
 A ideia geral para o algoritmo provém do que discutimos até agora:
 
@@ -93,7 +93,7 @@ Logo, as matrizes RGB aproximadas, obtidas nos produtos entre suas respectivas m
 
 O uso da função *np.clip*, nas linhas 38-40, é importante para garantir que as entradas das matrizes resultantes dos produtos estejam no intervalo permitido pelo padrão RGB, entre 0 e 255. A função substitui por 0 entradas com valor abaixo de 0, assim como por 255 entradas acima de 255, preservando as que estão dentro do intervalo. A presença de entradas fora desse intervalo resultaria em pixels "defeituosos" no resultado final, com cores destoantes da imagem original.
 
-### Testes e resultados
+# Testes e resultados
 
 Agora, veremos os resultados obtidos aplicando o algoritmo em uma imagem de testes, para diferentes valores de $k$. Note que o valor $k$ escolhido no algoritmo é livre, não há um controle sobre o valor escolhido em relação ao posto das matrizes originais. Mas, se escolhermos $k$ maior que o posto, na prática não ocorrerá alteração alguma na imagem. 
 

topicos/teorema-espectral.md

@@ -1,25 +1,26 @@
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-title: Teorema Espectral
+title: 10. Teorema Espectral
 subject: Tópicos Avançados
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 O Teorema Espectral é um importante resultado na Álgebra Linear, diz respeito à existência de uma base ortonormal formada por autovetores de um operador auto-adjunto para o espaço vetorial o qual ele atua. Dividiremos-o em dois casos que, na prática, são correspondentes: Operadores auto-adjuntos e matrizes simétricas. O segundo caso surge naturalmente como um corolário do primeiro, devido a relação entre operadores e matrizes.
 
-### Teorema Espectral (Operadores auto-adjuntos)
+# Teorema Espectral (Operadores auto-adjuntos)
 
-:::{prf:theorem} Teorema Espectral para operadores auto-adjuntos
+:::{important} Teorema 10.1 (Teorema Espectral para operadores auto-adjuntos)
 :label: teorema-espectral
 Seja $T$ um operador linear auto-adjunto sobre um espaço vetorial $V$, de dimensão finita e munido de produto interno, então existe uma **base ortonormal** de $V$ formada por **autovetores** de $T$.
 :::
 
-A sua prova requer dois resultados prévios. Em ambos, $T$ é um operador linear auto-adjunto sobre um espaço vetorial $V$ de dimensão finita e munido de produto interno.
+A sua demonstração requer dois resultados prévios. Em ambos, $T$ é um operador linear auto-adjunto sobre um espaço vetorial $V$ de dimensão finita e munido de produto interno:
 
-:::{prf:lemma}
+:::{important} Lema 10.2 
 :label: lema1
 Se $U$ é um subespaço $T$-invariante de $V$, então $U^{\perp}$ é $T$-invariante. 
 :::
 
-:::{prf:proof}
+:::{tip} Demonstração 10.2
+:class: dropdown
 
 Seja $u\in U$ e $w\in U^{\perp}$. Então, dado que $Tu \in U$ (pois $U$ é $T$-invariante), temos que
 $$
@@ -29,12 +30,13 @@ Por outro lado, dado que $T$ é auto-adjunto, $\langle Tu , w \rangle=\langle u
 
 :::
 
-:::{prf:lemma}
+:::{important} Lema 10.3
 :label: lema2
 Os autovalores de $T$ são reais.
 :::
 
-:::{prf:proof}
+:::{tip} Demonstração 10.3
+:class: dropdown
 
 Considere $\beta$ uma base ortonormal de $V$ e $\dim V = n>0$. Como $T$ é auto-adjunto, então $[T]_{\beta}=A$ é uma matriz simétrica (pelo [](#teorema1-autoadjunto)). 
 
@@ -86,26 +88,29 @@ Assim, dado que os somatórios nas igualdades {eq}`eq:igualdade` são reais, pod
 
 Agora, podemos provar o Teorema Espectral.
 
-:::{prf:proof} Teorema Espectral para operadores auto-adjuntos 
+:::{tip} Demonstração 10.1 (Teorema Espectral para operadores auto-adjuntos)
+:class: dropdown
+
 A prova se dá por indução sobre a dimensão de $V$. Consideremos $\dim V = n$.
 
 Como caso base, se $n=1$, qualquer ${} v\in V-\{ 0 \} {}$ forma uma base do espaço. Naturalmente, $\left(  \frac{v}{\lvert |v| \rvert}  \right)$ é uma base ortonormal de $V$. Ademais, também é formada por um autovetor, uma vez que se $Tv\in V$, então $Tv=\lambda v$, para algum $\lambda \in \mathbb{R}$, dado que $( v )$ é uma base.
 
-Como hipótese de indução, considere $n>1$ e suponha que o Teorema vale para todo espaço com dimensão menor que $n$. O [Lema 2](#lema2) garante que existe um autovetor de $T$ (em particular, unitário) $v_{1}\in V$, associado a um autovalor real $\lambda_{1}$. Seja $U=\text{span}(v_{1})$, temos então que $\dim U^{\perp}= \dim V - \dim U=n-1<n$. Além disso, seja $u \in U$, $u=\alpha v_{1}$ e $T(\alpha v_{1})=\alpha Tv_{1}=\alpha \lambda_{1}v_{1}\in U$. Logo, $U$ é $T$-invariante. Consequentemente, pelo [Lema 1](#lema1), $U^{\perp}$ também é $T$-invariante.
+Como hipótese de indução, considere $n>1$ e suponha que o Teorema vale para todo espaço com dimensão menor que $n$. O [](#lema2) garante que existe um autovetor de $T$ (em particular, unitário) $v_{1}\in V$, associado a um autovalor real $\lambda_{1}$. Seja $U=\text{span}(v_{1})$, temos então que $\dim U^{\perp}= \dim V - \dim U=n-1<n$. Além disso, seja $u \in U$, $u=\alpha v_{1}$ e $T(\alpha v_{1})=\alpha Tv_{1}=\alpha \lambda_{1}v_{1}\in U$. Logo, $U$ é $T$-invariante. Consequentemente, pelo [](#lema1), $U^{\perp}$ também é $T$-invariante.
 
 Dado que $\dim U^{\perp}<n$ e ${} U^{\perp} {}$ é $T$-invariante, vale a hipótese de indução. Logo, existe uma base ortonormal $( v_{2},\dots ,v_{n} )$ de $U^{\perp}$ formada por autovetores de $T$. Naturalmente, como $V=U \oplus U^{\perp}$, $( v_{1},v_{2},\dots,v_{n} )$ é uma base ortonormal de $V$ formada por autovetores de $T$.
 :::
 
 Verifica-se sem muita dificuldade que, em espaços vetoriais reais, a recíproca do Teorema Espectral é verdadeira: Se existe uma base ortonormal formada por autovetores de $T$, então $T$ é auto-adjunto.
 
-### Teorema Espectral para matrizes simétricas
+# Teorema Espectral para matrizes simétricas
 
-:::{prf:corollary} Teorema Espectral para matrizes simétricas
+:::{important} Corolário 10.4 (Teorema Espectral para matrizes simétricas)
 :label: espectral-para-matrizes-simetricas
 Seja $A\in M_{n}(\mathbb{R})$ uma matriz simétrica, então existe uma matriz $P\in M_{n}(\mathbb{R})$ ortogonal tal que $D=P^{T}AP$, onde $D$ é uma [matriz diagonal](#def-matriz-diagonal) cuja diagonal principal contém os autovalores de $A$.
 :::
 
-:::{prf:proof}
+:::{tip} Demonstração 10.4
+:class: dropdown
 
 Seja $T\in \mathcal{L}(V)$ tal que $A=[T]_{c}$. Como $A$ é simétrica e a base canônica é ortonormal, então $T$ é auto-adjunta. Logo, do [Teorema Espectral](#teorema-espectral) sabemos que existe uma base $\beta=( v_{1},\dots,v_{n} )$ de $V$ formada por autovetores de $T$. Seja $Tv_{i}=\lambda_{i}v_{i}$ ($i=1,2,\dots,n$), então
 $$
@@ -122,7 +127,7 @@ Além disso, $D=P^{-1}AP$, onde $P$ é a matriz mudança de base de $\beta$ para
 
 O fato de podermos garantir que matrizes simétricas podem ser diagonalizadas e sabermos como encontrar a matriz diagonal tem grande aplicação prática e computacional, como veremos no exemplo a seguir.
 
-:::{prf:example} Potenciação de uma matriz simétrica
+:::{hint} Exemplo 10.5 (Potenciação de uma matriz simétrica)
 
 Seja $A$ uma matriz simétrica, podemos determinar $A^{n}$ para um expoente natural qualquer. A chave está em encontrarmos a forma diagonal de $A$, garantida pelo [](#espectral-para-matrizes-simetricas) (neste caso, nos será útil escrever $A$ como $PDP^{T}$), e então verificar o que seria $A^{n}$ neste formato.