Merge pull request #2 from Gilgames32/main

Grafika p2 és katex

Author: Kristof-me

.gitignore

@@ -64,6 +64,7 @@ target/
 
 # virtualenv
 venv/
+.venv/
 ENV/
 
 # MkDocs documentation

.vscode/launch.json

@@ -0,0 +1,14 @@
+{
+    "version": "0.2.0",
+    "configurations": [
+        {
+            "name": "Start server",
+            "type": "debugpy",
+            "request": "launch",
+            "module": "mkdocs",
+            "args": [
+                "serve",
+            ],
+        }
+    ]
+}

docs/for_contributors/showcase.md

@@ -99,6 +99,8 @@ Web based: ![web based](https://hu.wikipedia.org/static/images/icons/wikipedia.p
 
 Local image: ![with relative path](../emote/reddit_gold.png){ height=25 }
 
+Emote: ![:end_the_name_with_a_colon_for_the_emote_style:](../emote/reddit_gold.png)
+
 ![Not available image]()
 
 ---

docs/javascripts/katex.js

@@ -0,0 +1,12 @@
+document$.subscribe(({ body }) => { 
+
+
+    renderMathInElement(body, {
+      delimiters: [
+        { left: "$$",  right: "$$",  display: true },
+        { left: "$",   right: "$",   display: false },
+        { left: "\\(", right: "\\)", display: false },
+        { left: "\\[", right: "\\]", display: true }
+      ],
+    })
+  })

docs/notes/sem4/computer_graphics/1.md

@@ -0,0 +1,303 @@
+# Geometriák és algebrák:
+> A geometriák különböző axiómákra épülnek. 
+> Például az Euklidészi síkgeometriában az egyik legfontosabb, hogy egy egyenesre egy külső pontból legfeljebb 1 olyan egyenes húzható, ami nem metszi *(ez a párhuzamos)*
+
+- Ezeknek az axiómáknak a megváltoztatása különböző eredményekhez vezethet. Például a háromszög szögeinek összege mindig:
+    - Hiperbolikus geometriában: $< 180°$
+    - Euklidészi geometriában: $180°$
+    - Gömbi geometriában: $> 180°$
+
+## Görbület
+- **Görbék görbülete:** 
+    - Egy adott pontra az alábbi két definíció egyikét használhatjuk:
+        - A görbület az egysebességű centripetális gyorsulás ($a_{cp} = \frac{v^2}{R}$, egysebességű = a sebesség nagysága állandó)
+        - A simuló kör sugarának reciproka
+    - ![](./img/1_gorbulet.png)
+    - *($\kappa = \frac{1}{r} = \frac{v^2}{r}$)*
+    
+- **Gauss görbület:**
+    - Egy felület (mondjuk henger) görbületét szeretnénk meghatározni egy adott pontban.
+    *(Ebben a pontban a felületnek van egy normálvektora, ami merőleges a felület síkjára)*. 
+    - Ekkor az alakzatot a felvághatjuk síkokkal *(amik a pontot metszik és a normálvektorral párhuzamosak)*
+    - Azek a síkok bármerre állhatnak és a felületet ahogy metszik, úgy egy görbét határoznak meg.
+    Az így kapott görbék közül van 2, ahol az egyiknél minimális a görbület, a másiknál maximális. Ezek a metszési irányok egymásra merőlegesek *(ezek a principális / főgörbületi irányok)*
+    - Az itt található görbületek szorzata a Gauss-görbület
+    - ![](./img/1_gauss_gorbulet.png)
+- [*Részletesebben*](https://youtu.be/0ZV4TjgI424?t=621)
+*(a diasorokon voltak még további alakzatok, ezeken érdemes ezt végig gondolni, a legfontosabb, hogy a normállal mindig párhuzamosak ezek a metszések)*
+
+## Gömbi geometria
+- Gömb egyenlete: $x^2 + y^2 + z^2 = R^2 = \frac{1}{K}$
+- Itt a görbület állandóan pozitív, az egyenesek is görbék
+- Fontos változás:
+    - Két pont nem mindig határoz meg egy egyenest egyértelműen
+    - Két egyenes mindig 2 pontban metszi egymást
+    - Itt 0 darab nem metsző egyenes van (még a párhuzamosok is metszik egymást)
+- **Főkör:** 2 pont és a gömb közepe meghatároz egy síkot. A kör, ami a sík és gömb metszésével jön létre a főkör
+*(Nem mindig lehet egyértelműen meghatározni, pl. Északi sark, Déli sark, Origó pontokkal végtelensok sík van)*
+- Gömbi geometriában a legrövidebb út két pont között mindig a főkörön van
+- **Elliptikus geometria:** olyan geometria, ahol az átellenes pontok egynek számítanak
+
+- **Gömbök vetítése:**
+    ![](./img/1_vetites.png)
+
+    1. Középpontos vetítés: 
+        - csak a felső gömböt
+        - egyenes tartó
+        - nem kör, szög és távoltástartó
+    2. Sztereografikus vetítés:
+        - a déli pólus kivételével mindent
+        - nem egyenestartó
+        - kör és szögtartó, de nem távolságtartó
+
+- **Mercator térkép:** hengerre vetít a gömb középpontból, de emiatt megnyúlik. 
+    - Szögtartó
+    - Nem távolságtartó
+
+- **Számolások gömbi geometriánál:**
+    - A görbület: $\kappa = 1/R^2$ <!--ez elég triviális-->
+    - Távolság: $R \theta = \theta / \sqrt{\kappa}$
+    *(ez egy körív, ahol 2 pont között $\theta$ szög van - radiánban)*
+    - Kör kerülete: 
+    ![](./img/1_kerulet.png)
+    - Háromszögek:
+        - $a^2 + b^2 > c^2$
+        - $T = (\alpha + \beta + \gamma - \pi) / \kappa$
+
+## Hiperbolikus geometria
+- Hiperboloid egyenlete: $x^2 + y^2 - z^2 = -R^2 = \frac{1}{\kappa}$
+    - *Ez levezethető komplex számmal is $(iR)^2$*
+- Itt a görbület állandóan negetív
+- Fontos változások:
+    - Egy egyenesre egy külső ponból több nem metsző egyenes húzható
+- Hiperbolikus terek vetítése egy diszkre:
+![](./img/1_hiberbolikus.png)
+
+- *Emlékeztető a 3. háziból - 2 kör merőleges:*
+![](./img/1_hazi_help.png)
+
+### Minkowski tér
+- A háromdimenziós teret kiterjesztjük egy negyedik dimenzióval, ami az idő
+- Itt nem pontok, hanem események vannak jelen
+    - *Mert ugyanaz a hely szerepelhet kétszer, de különböző időpontokban más-más esemény közben van*
+- Ebben a rendszerben a távolságot úgy kell érteni, hogy $x_1$ helyről $t$ idő alatt egy hatás elér-e egy $x_2$ helyre
+
+#### Projektív geometria
+> a GPU mindegyik geometriát támogatja, de projektív geometriában gondolkodik
+
+- Euklideszi geometriában nem beszélhetünk végtelenről, viszont a projektív geometriában létezik.
+- Fontos változás:
+    - Itt két egyenes pontosan egy pontban metszi egymást 
+    *(vagy 1 pontban metszenek, vagy a végtelenben. Ha azon gondolkodnál, hogy de balra és jobbra is van végtelen, az ne aggasszon, mert az a pont jobbra és balra ugyanaz a végtelen)*
+- *Ez a rendszer nem metrikus, mert nem lehet pl. távolságról beszélni, hiszen ha a végtelen is része, akkor ami végtelen távol van, azt nem lehet számításba venni*
+- Nincsenek olyan koordináta rendszerek, amik távolságokat használnak *(fentebb említett ok miatt)* - Vagyis Descartes és Polár koordinátarendszerek nem használhatók
+    - ![](./img/1_idealis_pont.png)
+    - Itt a zöld és a piros pontok az **ideális pontok** ahol az egyenesek metszenék egymást. 
+    Mivel a geometriánkban végtelen sok egyenes lehet, ezért a piros és zöld pontok között végtelen sok ideális pont lehet még. 
+- *Ha átgondoljuk, hogy van végtelen sok ideális pont, amik jobbra és balra nézve is önmaguk képviselik, akkor láthatjuk, hogy ez egy elliptikus geometria (fogalma fentebb) csak szög és távolság fogalom nélkül*
+
+## Síkgeometria
+- 2 dimenzióról beszélünk ($x$,$y$ koordinátákkal), amihez felveszünk egy harmadik tulajdonságot ($w$-t). Így képesek vagyunk Euklideszi és Projektív geometriát is mejeleníteni.
+    - Projektív esetben mondjuk azt, hogy csak az egyenes, ami átmegy az origón. 
+    ![](./img/1_projektiv.png)
+    Vagyis akkor van egy bizonyos végtelen pontunk, ahol minden egyenes találkozik.
+    Ekkor minden pont végtelen távoli, ahol $w$ = 0, hiszen bármely egyenes, ami rajtuk átmegy, az az origón is. Vagyis az egyenesük párhuzamos lesz a (kék) síkkal, amit látunk.
+- Ambiens tér ([ambient space](https://en.wikipedia.org/wiki/Ambient_space_(mathematics))): egy olyan tér, ami valamilyen objektumot körbevesz
+    - Ezek a befoglaló terek nekünk az ábrázolást segítik. Ezért az ambiens vektorokat képesnek kell lennünk összeadni és skálázni.
+    - Ebből következik, hogy $w=0$ a vektoroknál és $w=1$ a pontoknál (egyéb $w$-k se nem pontok, se nem vektorok).
+- **Skaláris szorzás:**
+    - $a_1 \cdot a_2 = |a_1| |a_2| \cos(\alpha)$
+    - Euklideszi geometriában: $a_1 \cdot a_2 = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$
+    - Nem asszociatív művelet (számít a szorzások sorrendje)
+    $(u \cdot v) \cdot w \neq u \cdot (v \cdot w)$
+- **Vektoriális szorzás (kereszt szorzás):**
+    - $|a_1 \times a_2 | = |a_1| |a_2| \sin(\theta)$
+    - $c_x = a_y b_z - a_z b_y$
+      $c_y = a_z b_x - a_x b_z$
+      $c_z = a_x b_y - a_y b_x$
+    - Ez sem asszociatív
+- **Vektorok tulajdonságai:**
+    - Két pont különbsége vektor
+    - Az ambiens térnek elemei $[x,y,0]$
+    - Hossz: $|v| = \sqrt{v \cdot v}$
+    - Merőlegesség: $u \perp v$ ha $u \cdot v = 0$
+        - Minden vektorra végtelensok merőleges van $\lambda [y, -x, 0]$
+    - Párhuzamosság: $u \parallel v$ ha $u = \lambda v$
+        - Minden vektorra végtelensok párhuzamos van $\lambda [x, y, 0]$
+- **Egyenesek:**
+    - Parametrikus egynlet: $r(t) = p + vt$
+    *(vagyis p pontból t ideje indultunk el v vektorrala - ha végig gondolod ez valóban pontok gyűjteménye, hiszen $w=1$ mindig)*
+    - Implicit egyenlet: $n \cdot (r - p) = 0$
+        - Ahol $r$ egyenest határozzuk meg $p$ pontja és $n$ normálvektora segítségével
+        $r(x,y) \Rightarrow [n_x, n_y, 0] \cdot [x - p_x, y - p_y, 0] = 0$
+        Vagyis: $n_x x + n_y y + d = 0$
+        - Ha $r$ helyére behelyettesítünk, akkor könnyen eldönthetjük, hogy egy pont rajta van-e
+        *(egyébként pont azért implicit egyenlet, mert az r egyenest nem fejezzük ki explicit)*
+
+## Térgeometria
+- A cél, hogy minden legyen ugyanolyan mint a síknál, csak mostmár egyel magasabb dimenzióban
+- vektor: $[x,y,z,0]$, pont: $[x,y,z,1]$
+- a korábban megbeszélt műveletek nem válltoznak 
+- az egynes egynletek továbbra is megmaradnak
+- **Sík egyenlete:** 
+    - Explicit: $r(u,v) = p + au + bv \qquad$ (ahol $a, b$ nem párhuzamos vektorok)
+    - Implicit: $n \cdot (r-p) = 0 \qquad \qquad$ (ahol $n$ normálvektor merőleges $a, b$ vektorokra)
+    Vagyis: $n_x x + n_y y + n_z z + d = 0$
+
+## Homogén koordináták
+- Homogén koordináták: ahol +1 dimenzióban megadunk egy értéket ami jelöli, hogy ideális pontról beszélünk-e
+- Ezt valamennyire láttuk, a fontos különbség, hogy a $w$ távolság jelölést is segíti nekünk
+    - $[2x,2y,1] = [x,y,\frac{1}{2}]$
+    mert ha osztjuk a $w$ koordinátájával, akkor $[x,y,\frac{1}{2}] / \frac{1}{2} = [2x,2y,1]$
+- Az egyenes implicit egyenlete:
+    - $[X(t),Y(t),w(t)] = [X_1,Y_1,w_1](1-t) + [X_2, Y_2,w_2] \cdot t$
+    - Ez 2 különböző pontból segít meghatározni az egyenest
+    - *De mégis miért jobb ez? Mert ez magától kezeli a végtelen pontokat a Descartes koordinátákkal szemben*
+    $n_x X / w + n_y Y / w + d = 0 \qquad w \neq 0$
+    $n_x X + n_y Y + dw = 0\qquad w \neq 0$
+- Hogyan csináljunk Euklidésziből homogént: 
+    - Fogjuk a pontokat és mindenhol kibővítjük a pontok koordinátáit $w = 1$-el.
+
+---
+
+# Kvíz
+
+> 1\. Milyen messze van az $(-5, 4)$ pont a $3x + 4y + 5 = 0$ implicit egyenletű egyenestől
+
+**Középiskolában tanultakkal megoldható:** 
+*(ha van gyorsabb megoldás javítsátok)*
+
+1. Egyenesre normálvektort állítasz
+$(3, 4) \Rightarrow (4, -3)$
+2. Normálvektorral új egyenes, ami átmegy a ponton
+$4 * (-5) + (-3) * 4 + d = 0$
+$d = 32 \Rightarrow 4x -3y + 32 = 0$
+3. Az egyenesek metszéspontjának megtalálása
+$4x -3y + 32 = 0 \text{ és } 3x + 4y + 5 = 0$ 
+*(Mondjuk hozzáadom $\frac{3}{4}$-szer az másodikat az elsőhöz, de sok jó út van)*
+$\frac{25}{4} x + \frac{133}{4} = 0 \Rightarrow x = \frac{-143}{25}$
+$\Rightarrow y = \frac{76}{25}$
+4. Metszés pont és eredeti pont távolságának kiszámítása
+$d = \sqrt{(((-5) - (\frac{-143}{25}))^2 + (4 - \frac{76}{25})^2)} = 1.2$
+
+**Alternatív megoldás:** 
+
+- képletet használunk $d = n \cdot (r-p)$, ahol $r$ az egyenes és $n$ egység hosszú    
+    1. a normálvektort egységhosszúvá tesszük 
+    $n = (3, 4) \Rightarrow n = \frac{(3, 4)}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$
+    *(figyeljünk, implicit egyenletnél a koordináta sorrendre)*
+    
+    2. az $r-p$ kivonást elvégzzük: *(ez egy vektor r és p között)*
+    A számításához használhatjuk az $r$ bármely pontját *(én az x=0 pontot választottam)* 
+    $R = (0, \frac{-5}{4})$ 
+    Ekkor $r - p = (0, \frac{-5}{4}) - (-5, 4) = (5, -\frac{21}{4})$
+    3. elvégezzük a skaláris szorzást: 
+    $n \cdot (r-p) = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5}) \cdot (5, -\frac{21}{4}) = \frac{3}{5} * 5 + \frac{4}{5} *  -\frac{21}{4} = 3 - \frac{21}{5} = -1.2$
+    4. De miért negatív?
+    Ez egy előjeles távolság, szóval függ attól, hogy a p pont az egyenes melyik oldalán van
+    Vagyis, ha abszolútértékkel használjuk, akkor helyes megoldást kapunk
+    $|-1.2| = 1.2$
+    :cake:
+ 
+[(a képlet kb így jön ki)](https://brilliant.org/wiki/dot-product-distance-between-point-and-a-line/)
+
+---
+> 2\. Tekintsünk 2 várost "A"-t és "B"-t az északi szélesség (lattitude) 45 fokán. Az "A" város keleti hosszúsága 165 fok, a "B" város keleti hosszúsága 50 fok.
+> Mekkora az A és B város távolsága km-ben, ha a föld sugarát 6000 km-nek vesszük?
+
+*(Ilyenkor nem használhatjuk a Távolság: $R \theta$ képletet direktben, mert x és y tengelyen is van bezárt szög és ezért vagy a sugár méretét kéne arányosítani, vagy a szöget kéne újraszámolni)*
+
+Keressük tehát azt a $\theta$ szöget, melyet a A és B *(pontosabban a beléjük húzott sugarak)* bezárnak a rajtuk átmenő főkörön.
+
+<details> 
+    <summary> 
+        Konkrét megoldás:
+    </summary>
+<img src="./img/1_kviz_notes.jpg">
+</details>
+
+Ellenőrzésre és általános esetre [script](./code/dist.py).
+
+<!-- Ez nem jó. Távolságot a főkörön mérjük, ott a legrövidebb.
+
+Szerencsére volt erre egy másik képlet:
+1. 45°-nál mekkora egy kör kerülete: 
+$R' =  R * sin(\theta) = 6000 * \sin(45°) \approx 4242.64$
+1. Ezen a körön már tudjuk, hogy a közrezárt szög 145-105 = 40 fok:
+Ami radiánban: $\theta' = (40/180) * \pi = 0.6981$
+$dist = R' * \theta' = 2961.92$
+-->
+
+---
+> 3\. A gömbi geometriánk Gauss görbülete $0.8$. Mekkora a $0.2$ sugarú kör kerülete ebben a geometriában?
+
+1. Gauss görbületből a gömb sugara:
+$K = 1/R^2 \Rightarrow R = 1 / \sqrt{K} = 1 / \sqrt{0.8} \approx 1.12$ 
+2. A kör sugara most a gömbön található egyenesben mérve van megadva. *(a korábbi ábrán ez volt $r$)*
+$r = R * \theta \Rightarrow \theta = 0.2 / 1.12 \approx 0.18$
+3. A kör kerülete pedig:
+$2 \pi R \sin(\theta) = 2 \pi * 1.12 * \sin(0.18) = 1.2499$ 
+*(ha pontos értékekkel számolunk, ha kerekítve, akkor 1.26 kb)*
+
+---
+> 4\. Egy pont koordinátái a t idő alábbi függvényei: x(t) = t*t, y(t) = 1/t mekkora a mozgás sebességének a négyzete 1 sec-ben?
+
+1. A sebesség a mozgás idő szerinti első deriváltja:
+$x'(t) = 2t \qquad y'(t) = -1 / t^2$
+2. Ezt szeretnénk tudni az 1 időpontban:
+$x'(1) = 2 \qquad y'(1) = -1 / 1$
+3. Ebből a sebesség:
+$v = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$
+4. Vagyis a sebesség négyzete:
+$\sqrt{5}^2 = 5$
+
+---
+> 5\. Asszociatív műveletek:
+> (x * y) * z = x * (y * z)
+
+- Komplex számok szorzata
+- Duális számok szorzata
+- Mátrixok szorzata
+- Vektorok elemenkénti szorzata
+*(ez csak arra ment ki, hogy a vekoriális és a skaláris szorzás ne asszociatív)*
+
+---
+> 10\. Kommutatív műveletek:
+> a * b = b * a
+
+- Komplex számok szorzata
+- Duális számok szorzata
+- Vektorok skaláris szorzata
+- Vektorok elemenkénti szorzata
+
+---
+> 6\. Mi igaz Euklideszi geometriában
+
+- sinh(3x + 4y + 5) = 0 egy egynes *(valóban az)*
+- 3x + 4y + 5 = 0 egyenesre merőleges a 4x -3y + 5 = 0
+- 3x + 4y + 5 = 0 egyenes megegyezik a -3x -4y - 5 = 0-tel
+- 3x + 4y + 5 = 0 egyenes párhuzamos a 9x 3y + 5 = 0-tel *(ráadásul meg is egyeznek)*
+
+---
+> 7\. Milyen műveleti eredmények értelmezhetők Euklideszi geometriában?
+
+- Két pont kombinációja *(ha jól gondolom, ez egy egyenes)*
+- Két vektor kombinációja
+- Két vektor összege
+- Vektor szorzása számmal
+- Pont és vektor összege
+
+*(pont szorzása vektorral és két pont összege pedig nem létező műveletek)*
+
+---
+> 8-9\. Mi igaz a geometriákra
+
+|   | Gömbi | Hiperbolikus |
+| - | ----- | ------------ |
+| A sík görbülete | Pozitív | Negatív |
+| Egyenes a 2 pont közti legrövidebb út | igaz | igaz |
+| Háromszög szögeinek összege | > 180° | < 180° |
+| A pitagorasz tétel | nem igaz | nem igaz |
+| Egyéb | Két különböző egyenes 2 pontban metszi egymást | 1 egyenesre 1-nél több nem metsző egyenes van |
+
+[Következő](2.md)