feat: continue work on chapter 12

Author: levyry

docs/notes/sem4/computer_graphics/12.md

@@ -594,29 +594,30 @@ Mivel minden lépésben a $+$-os és a $-$-os ágat is végrehajtjuk, ezért az
 
 Fontos még kiemelni, hogy a káosz egyik tulajdonságát nagyon jól szemlélteti ez a példa, mégpedig a kezdőfeltételek információjának eltűnését. Hiszen nagy $n$ esetén bármely $r_0$-ra $\sqrt[2^n]{r_0} \approx 1$ és bármely $\theta_0$-ra $\theta_0/2^n \approx 0$, tehát ha mondjuk $n = 10^100$, akkor $r_n$-ből és $\theta_n$-ből lehetetlen kitalálni, hogy mi volt $r_0$ és $\theta_0$.
 
-$H=F(H) \Rightarrow H=F^{-1}(H)$
+Ezt a folyamatot algoritmikus szemptonból is megközelíthetjük. A $z_0$ kezdeti pontra ha alkalmazzuk a kétértékű leképezésünk, akkor két pontot kapunk, a $+\sqrt{}$ és a $-\sqrt{}$ irányba egyet-egyet. Ezekre ismételten a leképezésünket alkalmazva további pontokat kapunk, egy bináris fa struktúrában.
 
-$z_{n+1} = z_n^2 ~~\Rightarrow z_{n+1} = \pm \sqrt{z_n}$
+Az exponenciális növekedés miatt ha ezt meg akarnánk programozni, akkor nagyon hamar elfogyna a gépünk memóriája, tehát felmerülhet a kérdés, hogy ahelyett, hogy szélességi bejárást folytatunk, és a teljes fát ábrázolni akarjuk, nem tudjuk valahogy ezt lecserélni valamilyen mélységi bejárásra?
 
-$r_{n+1} = \sqrt{r_n}$
+Ez annak felelne meg, mintha a bináris fa tetejéről kiindulva mindig csak az egyik élen mennénk le, azaz mindig vagy $+\sqrt{}$ vagy $-\sqrt{}$-el képeznénk új pontokat. Ezt a választást úgy kéne meghoznunk, hogy a mélységi bejárás által meglátogatott pontok is elég sűrűn lefedjék az attraktort, ami közel sem triviális. Ha mindig csak $+\sqrt{}$ vagy $-\sqrt{}$ irányba megyünk, akkor a $\theta_n$ fázisszög $0$ és $2\pi \equiv 0$ marad végig, tehát nem fedjük le az attraktort.
 
-$\varphi_{n+1} = \varphi_n/2 + \pi\{0|1\}$ (azaz $\pi ~\cdot$ vagy $0$ vagy $1$, mert 2 gyök van)
+Próbáljunk meg mondjuk felváltva választani, ekkor:
 
-Midőn $n \to \infin$:
-
-$r_{n} = \sqrt[2^n]{r_0} \to 1$
+$$
+\begin{align}
+\theta_{2n} \approx 1.010 \ldots \cdot \pi = \frac{4 \pi}{3} \\
+\theta_{2n + 1} \approx 0.101 \ldots \cdot \pi = \frac{2 \pi}{3}
+\end{align}
+$$
 
-azaz vagyis tehát a körön lesz előbb vagy utóbb de leginkább csak közelíti
+Sajnos láthatjuk, hogy még így is csak két különböző pontot sikerült elérnünk, és ez általánosítható: ha egy $n$ hosszú periódussal haladunk, akkor $n$ darab pontot fogunk lefedni csak. Ez azt jelenti, hogy semmilyen periodikus sorozattal nem tudjuk elérni, hogy lefedjük a teljes attraktort.
 
-- függvény attraktora (ha van neki) megegyezik az inverzével, de stabilitása ellentétes lesz (stabil $\rightleftarrows$ labilis)
-- $z^2$-nél távolabb visz (labilis), inverzénél ($\sqrt{z_n}$) közelebb visz (stabil) az iteráció az attraktorhoz
-A továbbiakban az lesz a célunk, hogy különböző tetszőleges $F$ függvények attraktorait felrajzoljuk.
+A megoldást azt fogja jelenteni, hogy _véletlenszerűen_ választunk a leképzés két eredménye közül. Ekkor pozitív valószínűsége van bármely pontnak arra, hogy kiválassza az algoritmusunk. Ezzel tehát megoldottuk a kezdeti problémánkat: nem kell szélességi bejárást csinálni, ami az összes erőforrásunkat megenné, hanem szimplán minden leképezés után csak az egyik ággal dolgozunk tovább, amit véletlenszerűen döntünk el.
 
 ### Attraktorok felrajzolása
 
-Az egyik megközelítés az lehet, hogy felismerjük, hogy az attraktor az divergens és konvergens régiókat választ el egymástól. Ha az összes konvergens pontot feketére színezzük, és a divergenseket fehéren hagyjuk, akkor a keletkező fekete alakzatoknak a határavonalai lesznek a függvény attraktorai.
+Mielőtt elkezdünk programokat írni, ki kell találnunk, hogy egyáltalán hogyan tudjuk vizualizálni az attraktorainkat. Az egyik megközelítés az lehet, hogy felismerjük, hogy az attraktor az divergens és konvergens régiókat választ el egymástól. Ha az összes konvergens pontot feketére színezzük, és a divergenseket fehéren hagyjuk, akkor a keletkező fekete alakzatoknak a határavonalai lesznek a függvény attraktorai.
 
-Hogyan tudjuk eldönteni, hogy egy pont divergens-e vagy sem? Tudjuk, hogy például $F$ esetében
+Hogyan tudjuk eldönteni, hogy egy pont divergens-e vagy sem? Tudjuk, hogy például $F \colon z \mapsto z^2$ esetében
 
 $$
 z_{n+1}=z_{n}^2
@@ -630,46 +631,98 @@ $$
 
 akkor nem divergens. Persze amikor programozunk, akkor közelítenünk kell, általában jó nagy $n$-ig elmegyünk, és megnézzük, hogy meghalad-e egy bizonyos távolságot a $|z_n|$.
 
-## Többértékű leképzés: bolyongás
+??? example "Fekete-fehér az unalmas"
+    Későbbi diákon, illetve az interneten is sok helyen színekkel ábrázolják a Julia halmazokat.
+
+    Ne jöjjünk zavarba, az alap logika ugyan az, annyi változtatást tehetünk, hogy a divergáló pontoknál megnézzük a küszöböt elérve, hogy milyen távol kerültek az origótól. A "leggyorsabban" divergáló ponthoz ha hozzárendelünk egy sötétkéket, a "leglassabban" konvergálóhoz pedig egy pirosat, és közöttük pedig lineárisan interpolálunk, akkor máris megkaphattuk azokat a szép színes Julia halmazokat amik fel-fel bukkannak az interneten.
+
+### Julia halmaz
+
+Így, hogy minden eszközünk meg van rá, próbáljunk meg felrajzolni pár attraktort! Ahogy korábban is láttuk, az $F \colon z \mapsto z^2$ függvény attraktora az egységkör. Lássuk tehát!
+
+![very_simple_julia](img/chapter_12/12_julia_very_simple.png)
+
+Hát... ennél azért könnyebb algoritmusaink is vannak körök felrajzolására...
+
+Próbáljunk kicsit módosítani $F$-en, hogy érdekesebb alakzatokat kapjunk. Nézzük például az
+
+$$
+F': z \mapsto z^2 + c
+$$
+
+függvényt, ahol $c \in \cnums$. Ekkor ha variáljuk $c$ értékét, rettenetesen sok érdekes attraktort kapunk:
+
+![julia halmaz](./img/chapter_12/12_julia.png)
+
+Az $F'$ összes attraktorának halmazát _Julia halmaznak_ nevezik (ejtsd: \[zsúlia\]).
 
-- $\varphi_{n+1} = \varphi_n/2 + \pi\{0|1\}$
-    azaz 
-    - a pozitív gyök esetén $\varphi \to 0$
-    - a negatív gyök esetén $\varphi \to 1$
-- ha mindig csak egy irányba megyünk az nem lesz jó, véletlenszerűen bolyongunk benne
+#### Implementáció
 
-## Julia halmaz
-$F: z \mapsto z^2 + c$
-Kölönböző $c$-k esetén:
-![](./img/chapter_12/12_julia.png)
+Nézzük meg a kitöltött Julia halmaz implementációját. Pszeudokód szinten relatívan egyszerű: a kamerának kiválasztjuk egy pixelét (pontosabban egy olyan tartományt a virtuális világban ami egy pixelnek felel meg), és megnézzük, hogy az a pont divergál-e vagy sem. Ehhez választunk egy jó nagy küszöböt, és alkalmazzuk rá az $F'$ függvényt. A konvergenciájától függően vagy feketére vagy fehérre színezzük, és megyünk tovább (ehhez a megközelítéshez kódot az előadásdiákon találtok).
 
-### Implementáció
-> 2 féle megközelítés:
+Érezhető viszont, hogy ez picit lassú. Nagyon sok időt töltünk el olyan pontokkal is, amik már pár iteráció után divergálnak, és ha nagyon hatékonyak akarunk lenni, akkor a divergens pontokkal még csak foglalkoznunk se kéne. Másrészt pedig pixelvezérelt, ami a modern, nagy felbontású képernyők esetében nem hatékony.
 
-> - "gyökvezérelt": számoljuk a gyököket egy bizonyos mélységig, és az érintett pixeleket átszínezzük
-> - pixelvezérelt: minden pixelre a függvény inverzén iterálunk, az alapján színezünk
-> *(elég gettó megfogalmazás de nekem ez jött át, kódot nem kaptok \:P)*
+Próbáljuk meg implementálni a fentebbi véletlenszerűségre alapuló algoritmust. Csak az attraktor pontjait (a konvergens pontok nélkül) előállíthatjuk az inverz iteráció módszerével is. Ez egy "gyökvezérelt" megközelítés, és sokkal hatékonyabb lesz. Az alapjait már fentebb tárgyaltuk: az attraktor egy pontjából elindítjuk az iterációt és minden lépésben alkalmazzuk $F^{-1}$-et a pontunkra, és véletlenszerűen választunk a $\pm$ előjelek között. Ezt elég nagy küszöbig ismételve, ha az összes pontot amit bejártunk kiszínezünk feketére, akkor megkapjuk az attraktort.
 
+Stabil attraktorok esetén könnyű meghatározni az attraktor egy pontját (elindítunk egy sorozatot az attraktor közeléből, és ami után elértük, azokat a pontokat amikkel csak megközelítettük eldobjuk), viszont labilis attraktorok esetén muszáj az attraktor egy pontját, azaz $F$ vagy $F^{-1}$ egy fixpontját kiválasztanunk.
+
+```cpp
+const int DEPTH = 100;
+
+void generate_attractor(Complex c) {
+    // z = z^2 + c másodfokú egyenlet valamelyik gyöke
+    Complex z = get_starting_value(c);
+
+    for(n = 0; n < DEPTH; n++) {
+        if(VisibleInWindow(z)) {
+            pixel = WindowViewport(z);
+            image[pixel] = black;
+        }
+        // z = sqrt(z - c)
+        z = F_inverse(z, c);
+
+        // randomly choose pos or neg root
+        if (get_random_number(0, 1) > 0.5) z = -z; 
+    }
+}
+```
+
+Részletesebb magyarázathoz ajánlom az [előadásvideó ezen részét](https://youtu.be/4-5_UzT6SFQ?si=9OIrHGFQrlBpCLUV&t=2317).
 
 ## Mandelbrot halmaz
-Azon c komplex számok, amelyekre a $z \mapsto z^2 + c$ Julia halmaza összefüggő.
 
-Egy videó, ami ugyan kicsit szájbarágósan de szerintem élvezhetően elmagyarázza a komplex számokat és a Mandelbrot halmazt: [The Mandelbrot Set (Vsauce)](https://youtu.be/MwjsO6aniig?t=71)
+Mandelbrot arra volt kíváncsi, hogy miért van az, hogy a Julia halmazok néhány $c$-re összefüggőek, bizonyos esetekben viszont meg különálló ponthalmazok. Definiált egy halmazt, ami azon $c$ komplex számokból áll, amelyekre az ahhoz tartozó Julia halmaz összefüggő.
 
-Isten létezésének bizonyítása a Mandelbrot halmazzal (ennek mégkevesebb köze van az anyaghoz): [Proving God exists using Math](https://www.youtube.com/watch?v=z0hxb5UVaNE)
+Ha a Mandelbrot halmazt ábrázoljuk a síkon, akkor több dolgot is tapasztalhatunk:
 
-A 3D változata Mandelbulb néven ismert.
+- az alakzat fraktális, tehát bármennyire is ráközelítünk nem egyszerűsödik le, végtelenségig új alakzatok és komplexitások tűnnek fel.
+- nem önhasonló, tehát a végtelen komplexitás soha sem ismétlődik
 
+Ha egy pontra "végtelenségig" rá tudnánk közelíteni, akkor a közvetlen környezetében a hozzá tartozó Julia halmaz jelenne meg. A Mandelbrot halmazt az emberiség által ismert legbonyolultabb geometriai alakzatnak tartják.
+
+!!! info Érdekességek
+    Egy videó, ami ugyan kicsit szájbarágósan, de élvezhetően elmagyarázza a komplex számokat és a Mandelbrot halmazt: [The Mandelbrot Set (VSauce)](https://youtu.be/MwjsO6aniig?t=71)
+
+    Isten létezésének bizonyítása a Mandelbrot halmazzal (ennek még kevesebb köze van az anyaghoz): [Proving God exists using Math](https://www.youtube.com/watch?v=z0hxb5UVaNE)
+
+    A 3D változata "Mandelbulb" néven ismert.
+
+Hogyan tudnánk mégis ábrázolni? Hát ha pusztán a definícióból indulunk ki, akkor elég nehezen. Szerencsére vannak egyszerűbb módszerek.
+
+### Julia halmazok összefüggése
+
+<!-- 
 ## ISF
 
 ISF = Iterált Funkciós Rendszer
 
 ### Inverz feladat
+
 ![alt text](./img/chapter_12/12_inverse_isf.png)
 
 Inverz feladat, tehát $H$ ismert és $F$-et szeretnénk.
 
-$F$ szabadon vezérelt, legyen stabil attraktora: 
+$F$ szabadon vezérelt, legyen stabil attraktora:
 
 $H = F(H) = W_1(H) \cup W_2(H) \cup W_3(H) \cup W_4(H)$
 
@@ -687,6 +740,7 @@ Nem csak önhasonló objektumokhoz használjuk.
 
 ![alt text](./img/chapter_12/12_whatthefuckever.png)
 
+ -->
 ---
 
 !!! quote ""