Merge pull request #8 from VIK-CE-Notes/bsz1

Bsz1

Author: Kristof-me

docs/notes/sem1/theory_of_computing_1/1.md

@@ -0,0 +1,87 @@
+# 1. Tétel:
+ **Oszthatóság, prímszámok, a számelmélet alaptétele** (csak a felbonthatóság bizonyításával). Prímek száma, $π(n)$ nagyságrendje (biz. nélkül). **Kongruencia fogalma, alapműveletek kongruenciákkal.**
+
+## Fogalmak:
+**Oszthatóság:** $a$ osztható $m$-mel ($a, m \in \mathbb{Z}$), ha $\exists k \in \mathbb{Z}$, amelyre $m \cdot k = a$
+
+- **Valódi osztó:** $m$ valódi osztója $a$-nak, ha: $m | a$ és $1 < |m| < |a|$
+
+**Prímszámok:** $p$ prím, ha $p \neq 0, 1, -1$ és $\nexists$ valódi osztója
+
+**Prímek száma:** végtelen sok prím létezik 
+[*(bizonyítás)*](#végtelen-sok-prím-létezik)
+
+**$π(n)$ nagyságrendje:** $π(n) \approx \frac{n}{\ln{n}}$
+*(A Nagy Prímszámtétel, ez a függvény megmondja nekünk $n$-ig a prímek darabszámát)*
+- $\approx$ jel az aszimptotikus egyenlőséget jelöli. Ez azt jelenti, hogy a (bal-és jobboldali) két sorozat hányadosa 1-hez konvergál. $\displaystyle{\lim_{n \to\infty}} \frac{π(n)}{\frac{n}{\ln{n}}} = 1$
+*(a becslés relatív hibája n növekedtével 0-hoz konvergál)*
+
+**Számelmélet alaptétele:** $\forall n \neq 0, 1, -1$ szám felbontható prímek szorzataként ($n \in \mathbb{Z}$). Ez a felírás a sorrendtől és a (-1) szorzástól eltekintve egyértelmű
+[*(bizonyítás)*](#felbonthatóság-bizonyítása)
+
+**Kongruencia fogalma:** (Legyenek $a,b,m \in \mathbb{Z}, m \neq 0$.) Az $a$ kongruens $b$-vel modulo $m$, ha $a$-t és $b$-t $m$-mel maradékosan osztva azonos maradékot kapunk. *(Vagyis $a$ és $b$ azonos maradékot ad $m$-mel osztva)*
+$a \equiv b\ (mod\ m) \Leftrightarrow m | a-b$
+[*(bizonyítás)*](#ekvivalens-definíció)
+
+**Alapműveletek kongruenciákkal:**
+Ha $a \equiv b\ (m)$ és $c \equiv d\ (m)$, vagyis $m | a-b$ és $m | c-d$
+
+1. $a + c \equiv b + d\ (m)$
+2. $a - c \equiv b - d\ (m)$
+3. $a \cdot c \equiv b \cdot d\ (m)$
+4. $\forall k \in \mathbb{Z}^+ : a^k \equiv b^k$
+5. Osztás: *(itt c és d változók)*
+    - $ac \equiv bc \ (m)$ és $(c, m) = 1$ *(vagyis relatív prímek, mert a LNKO-juk = 1)*, akkor $a \equiv b\ (m)$
+    - $ac \equiv bc \ (m)$ és $(c, m) = d$, akkor $a \equiv b\ (\frac{m}{d})$
+
+[*(bizonyítás)*](#műveletek-bizonyítása)
+
+## Bizonyítások:
+### Végtelen sok prím létezik:
+*(Indirekt módon)*
+
+1. Tegyük fel, hogy véges sok prím $\exists$ *($p_1, p_2, ..., p_n$)*
+2. Ezeknek a szorzatához adjunk hozzá egyet: $N = p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_n + 1$
+$N$-nek nincs prím osztója $\rightarrow$ a számelmélet alaptétele nem teljesül $\rightarrow$ az 1. feltételezésünk hibás (vagyis végtelen sok prím létezik)
+
+### Felbonthatóság bizonyítása:
+$n \in \mathbb{Z}, |n| > 1$ egész felbontása prítényezőkre a következő módon történik:
+
+1. Ha $n$ prímszám, akkor kész vagyunk
+2. Ha nem, akkor fel lehet bontani a valódi osztóinak szorzatára *(prímek definíciója miatt)*, ekkor $n = a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_k$
+3. Ha a felbontás csak prímekből áll, akkor kész vagyunk
+4. Ha van köztük olyan, ami nem prím *(mondjuk az $a_i$)*, akkor azt is felbontjuk valódi osztóira *(mondjuk $a_i = b \cdot c$)*. Ekkor ezeket a valódi osztókat visszahelyettesítjük a nem prímek helyére. 
+($n = a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_{i-1} \cdot b \cdot c \cdot a_{i+1} \cdot ... \cdot a_k$)
+5. Ezt a lépést ismételgetjük, amíg nem maradnak csak prímszámok
+(Ez az eljárás véges sok lépésben megoldható, hiszen a felbontás legfeljebb $log_2|n|$ tényezős lesz)
+
+### Ekvivalens definíció:
+> $a \equiv b\ (mod\ m) \Leftrightarrow m | a-b$
+
+- $a \equiv b\ (m)$, ebből a definíció alapján:
+    - $a = k_1 \cdot m+r$
+    - $b = k_2 \cdot m+r$
+- Amiből kifejezhetjük, hogy: $a-b = (k_1 \cdot m+r) - (k_2 \cdot m+r) = m \cdot (k_1-k_2)$
+- Amiről tudjuk, hogy $m\ |\ m \cdot (k_1-k_2)$
+- Vagyis a két definíció ekvivalens
+
+### Műveletek bizonyítása:
+1. $m | (a-b)+(c-d) \Rightarrow m|(a+c)-(b+d) \Rightarrow a + c \equiv b + d\ (m)$
+2. $m | (a-b)-(c-d) \Rightarrow m|(a-c)-(b-d) \Rightarrow a - c \equiv b - d\ (m)$
+3.  $m\ |\ a-b$ és $m\ |\ c-d$
+    $m\ |\ (a-b) \cdot c$ és $m\ |\ b \cdot (c-d)$ 
+    $m\ |\ ac-bc$ és $m\ |\ bc-bd$ 
+    $m\ |\ ac-bc+bc-bd$ 
+    $a \cdot c \equiv b \cdot d\ (m)$
+4. az előző alapján, ahol $c = a$ és $d = b$
+    akkor $a^2 \equiv b^2\ (m)$, 
+    ugyanezt újra alkalmazva $a^3 \equiv b^3\ (m)$ az eredmény
+    általánosan pedig $k$-szor megismételve $a^k \equiv b^k\ (m)$-et kapunk
+5. Osztás: $ac \equiv bc \ (m)$ és $(c, m) = d$, akkor $a \equiv b\ (\frac{m}{d})$
+    - $c'=\frac{c}{d}$ és $m'=\frac{m}{d}$, ezek egészek, mert $d$ osztójuk
+    - Ekkor $(c', m')=1$, különben $d$ más lenne
+    - $ac \equiv bc\ (m) \Leftrightarrow m\ |\ ac - bc = c \cdot (a-b)$
+    - Ami ekvivalens azzal, hogy $m'\ |\ c'*(a-b)$
+    - Amiből tudjuk, hogy $m'\ |\ a-b$, hiszen $(c', m')=1$
+    - Ebből kiderül, hogy az állítás igaz.
+    - Következménye pedig, hogy $d=1$ esetén $a \cdot c \equiv b \cdot c\ (m) \Leftrightarrow a \equiv b\ (m)$

docs/notes/sem1/theory_of_computing_1/10.md

@@ -0,0 +1,56 @@
+# 10. Tétel:
+**A determinánsok kifejtési tétele** (biz. nélkül). **Műveletek mátrixokkal (összeadás, skalárral szorzás, szorzás,** transzponálás), **ezek tulajdonságai.** A transzponált determinánsa. Determinánsok szorzástétele (biz. nélkül).
+
+## Fogalmak:
+**A determinánsok kifejtési tétele:** $(n \cdot n)$-es A mátrix valamelyik sorának/oszlopának minden *($a_{i,j}$)* elemét megszorozzuk a hozzátartozó előjeles aldetermináns értékével, akkor ezeket a szorzatokat összeadva a determináns értékét kapjuk.
+
+- Előjeles aldetermináns: $(-1)^{i+j} \cdot \det A'$, ahol $A'$ az $A$-ból kihagyva az $i$. sor és $j$. oszlop. 
+
+**Műveletek mátrixokkal:**
+
+- **Összeadás:** $A+B$ az a mátrix, melynek $i.$ sorának $j.$ eleme $a_{i,j}+b_{i,j}$
+    - csak azonos méretűeket adunk össze
+    - az összeadás kommutatív és asszociatív
+
+- **Skalárral szorzás:** $\lambda \cdot A$ az a mátrix, melynek $i.$ sorának $j.$ eleme $\lambda \cdot a_{i,j}$
+    - a skalárral szorzás kommutatív és asszociatív
+- (Kivonás: $A + (-1) \cdot B$, az előzők alapján)
+
+- **Transzponálás:** $(k \cdot n)$-es $A$ mátrix transzponáltja az az $(n \cdot k)$-s $B = A^T$ mátrix, 
+    amelynek minden elemére teljesül, hogy: $b_{i,j}=a_{j,i}$
+    - alkalmazható sor és oszlopvektorokra is
+
+- **Szorzás:** $(k \cdot n)$-es $A$ és $(n \cdot m)$-es $B$ mátrixok szorzata $C \in \mathbb{R}^{k \cdot m}$-es mátrix, melynek minden elemére igaz, hogy: 
+    $c_{i,j} = a_{i,1} \cdot b_{1,j} + a_{i,2} \cdot b_{2,j }+...+ a_{i,n} \cdot b_{n,j}$
+    - $A \cdot B \neq B \cdot A \Rightarrow$ nem kommutatív
+    - $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C) \Rightarrow$ asszociatív
+    - $(A+B) \cdot C = AC + BC$
+    - $\lambda(A \cdot B) = (\lambda A) \cdot B$
+    *(ezeket lehet bizonyítani, de nincs rá erőm és nem hinném, hogy kell)*
+    - Ha $A \cdot B$ létezik, akkor $(A \cdot B)^T = B^T \cdot A^T$
+
+**Transzponált determinánsa:** Minden $A$ négyzetes mátrixra $\det A = \det A^T$
+[*(Bizonyítás)*](#transzponált-determinánsa)
+
+**Determinánsok szorzástétele:** Bármely $A$ és $B$ $(n \cdot n)$-es mátrixokra igaz, hogy $\det(A \cdot B)=\det A \cdot \det B$ teljesül
+
+## Bizonyítások:
+
+### Transzponált determinánsa
+> Minden $A$ négyzetes mátrixra $\det A = \det A^T$
+
+- Legyen $A$ egy tetszőleges mátrix és $B = A^T$
+- Legyen $\pi$ tetszőleges permutáció. 
+  Ekkor $\det A$ kiszámításakor $(-1)^{I(\pi)} \cdot a_{1,\pi_1} \cdot a_{2,\pi_2}\cdot ... \cdot a_{n,\pi_n}$ előjeles szorzatokat használjuk
+  *($B$ determinánsánál pedig ugyanez (előjeltől eltekintve) $b_{\pi_1,1} \cdot b_{\pi_2,2} \cdot ... \cdot b_{\pi_n,n}$ alakban jelenik meg.)*
+- Legyen $\pi'$ inverze $\pi$-nek (függvény értelemben)
+  > pl. $\pi =(3,2,4,1) \Rightarrow \pi'=(4,2,1,3)$
+
+  - Mivel $\pi'$ is egy permutáció, ezért az is része lesz B determinánsának, ami felírható úgy, hogy: $(-1)^{I(\pi')} \cdot b_{1, \pi'_1} \cdot b_{2, \pi'_2} \cdot ... \cdot b_{n, \pi'_n}$
+  - Legyen $\pi_i = k$ és $\pi_j = l$, ekkor tudjuk, hogy $\pi'_k = i$ és $\pi'_l = j$
+  - A definíció szerint tudjuk, hogy a tagok akkor állnak inverzióban, ha $i < j$ esetén $k > l$. Ekkor viszont a $\pi'$-ben az $i < j$ esetén akkor állnak inverzióban, ha $k > l$
+  - Vagyis $\pi_i$ és $\pi_j$ akkor és csak akkor állnak inverzióban, ha $\pi'$-ben $i$ és $j$ állnak inverzióban.
+  - Emiatt $I(\pi) = I(\pi')$, ami igaz minden $\pi$ és $\pi'$ párra, emiatt $\det A = \det B = \det A^T$
+
+### Műveletekkel kapcsolatban
+Ha mégis bizonyítani akarod a műveleteket, akkor úgy kezded, hogy végig mutogatod, hogy egyes műveletek mit tesznek a mátrix soraival

docs/notes/sem1/theory_of_computing_1/11.md

@@ -0,0 +1,62 @@
+# 11. Tétel:
+$n × n$-es **lineáris egyenletrendszer egyértelmű megoldhatóságának jellemzése a determináns segítségével.** Kapcsolat a lineáris egyenletrendszerek, az $\mathbb{R}^n$-beli generált altérhez tartozás kérdése, illetve a mátrixszorzáson alapuló mátrixegyenletek között. Kapcsolat négyzetes mátrix determinánsa, illetve a sorok és az oszlopok lineáris függetlensége között.
+
+## Fogalmak:
+**($n × n$)-es lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának egyértelműsége determinánssal:** 
+Legyen $(A|\underbar{b})$ egy $n$ változós $n$ egyenletből álló lineáris egynletrendszer kibővített együtthatómátrixa. Ekkor az egyenletrendszer akkor és csak akkor egyértelműen megoldható, ha $\det A \neq 0$
+[*(Bizonyítás)*](#nn-es-megoldása)
+
+**Kapcsolat a lineáris egyenletrendszerek, az $\mathbb{R}^n$-beli generált altérhez tartozás kérdése, illetve a mátrixszorzáson alapuló mátrixegyenletek között:** Az alábbi állítások ekvivalensek az $\underbar{a}_1, ..., \underbar{a}_n, \underbar{b} \in \mathbb{R}^k$, ahol $A$ az $a_1,...,a_n$ egyesítésével keletkező $(k \cdot n)$-s mátrix.
+
+1. Megoldható az $A \cdot \underbar{x}=\underbar{b}$ <u>mátrixegyenlet</u>
+2. Megoldható az $(A|\underbar{b})$ kibővített együtthatómátrixú <u>lineáris egyenletrendszer</u>
+3. $\underbar{b} \in \braket{\underbar{a}_1, ..., \underbar{a}_n}$, vagyis $\underbar{b}$ eleme a <u>generált altérnek</u>
+[*(Bizonyítás)*](#ekvivalenciák-a-mátrixegyenletekkel)
+
+**Kapcsolat négyzetes mátrix determinánsa, illetve a sorok és az oszlopok lineáris függetlensége között:** Az alábbi állítások ekvivalensek $A \in \mathbb{R}^{n  \cdot n}$-re
+
+1. Ha $\det A \neq 0$
+2. $A$ oszlopai lineárisan függetlenek
+3. $A$ sorai lineárisan függetlenek
+[*(Bizonyítás)*](#determináns-és-függetlenség)
+
+## Bizonyítások:
+
+### n×n-es megoldása:
+> akkor van egyértelmű megoldás, ha  $\det A  \neq 0$
+
+Futtassuk $(A|\underbar{b})$-re a Gauss-eliminációt. A lépések megváltoztathatják a determinánst, de azt [nem, hogy nulla-e](9.md#determináns-gauss-elim). 
+A Gauss-elimináció a 3 opció egyikével ér véget:
+
+1. Az egynletrendszer nem megoldható. Mivel ekkor tilos sor volt, ezért van sor, ami csupanulla $\Rightarrow \det A = 0$ volt eredetileg is.
+2. Az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van. Ekkor nem érjük el a lépcsősalakot. Ekkor az első fázis végén már csupa nulla sor keletkezik $\Rightarrow \det A = 0$ volt eredetileg is.
+3. Az egyenletrendszernek egyértelmű a megoldása. Ekkor RLA alakban van a kibővített együtthatómátrix, vagyis $\det A = 1$. Mivel a determináns végül nem 0, ezért eredetileg sem volt 0.
+
+Vagyis az egyértelmű megoldhatóságnak szükséges és elégséges feltétele, hogy $\det A  \neq 0$
+
+### Ekvivalenciák a mátrixegyenletekkel
+> 1. Megoldható az $A  \cdot \underbar{x}=\underbar{b}$ <u>mátrixegyenlet</u>
+> 2. Megoldható az $(A|\underbar{b})$ kibővített együtthatómátrixú <u>lineáris egyenletrendszer</u>
+> 3. $\underbar{b} \in \braket{\underbar{a}_1, ..., \underbar{a}_k}$, vagyis $\underbar{b}$ eleme a generált altérnek
+
+- A 3. ekvivalens a 2.-kal: 
+    - a 3. állítást felírhatjuk így: $\lambda_1 \cdot \underbar{a}_1 +...+ \lambda_n \cdot \underbar{a}_n = \underbar{b}$
+    ekkor: $\lambda_1 \cdot \underbar{a}_{1,i} +...+ \lambda_n \cdot \underbar{a}_{n,i}= \underbar{b}_i\ (\forall\ 1 \leq i \leq k)$
+    - a 2. állítás pedig felírható úgy, hogy: $\underbar{a}_{i, 1} \cdot x_1 +...+ \underbar{a}_{i, n} \cdot x_n= \underbar{b}_i\ (\forall\ 1 \leq i \leq k)$
+    
+    - Láthatjuk, hogy a kettő kifejezés azonos $\lambda_i = x_i$
+- Az 1. ekvivalens a 2.-kal:
+    - 1.-ről tudjuk, hogy $\underbar{x} \in \mathbb{R}^n$, hiszen $A\ (k \cdot n)$-es.
+    Az $\underbar{x}$ elemeit fel lehet írni úgy, mint: $x_1, x_2, ..., x_n$, ekkor a sorok felírhatók úgy, mint:
+    $\underbar{a}_{i, 1} \cdot x_1 +...+ \underbar{a}_{i, n} \cdot x_n= \underbar{b}_i\ (\forall\ 1 \leq i \leq k)$, ami konkrétan megegyezik a 2.-kal
+
+Ebből is látszik, hogy a 3 állítás ekvivalens
+*(Ha ehhez rajzolgatsz példákat, akkor lehet vizsgáztató jobban fog szeretni)*
+
+### Determináns és függetlenség
+> ha $\det A \neq 0$, akkor a sorok és oszlopok függetlenek
+
+- Korábbi állítás miatt, ha $A \cdot \underbar{x} = \underbar{0}$ egyetlen megoldása $\underbar{x} = \underbar{0}$, akkor az ekvivalens azzal, hogy $a_1, a_2, ..., a_n$ vektorok lineárisan függetlenek.
+- Másik korábbi állítás miatt $(A | \underbar{0})$ csak akkor egyértelműen megoldható  $\det A \neq 0$. Ebből következik, hogy oszlopai függetlenek.
+- Ha $\det A \neq 0$, akkor $\det A^T \neq 0 \Rightarrow A^T$ oszlopai függetlenek $\Rightarrow A$ sorai függetlenek
+Vagyis $A$ oszlopai és sorai is függetlenek, ha determinánsa nem 0.

docs/notes/sem1/theory_of_computing_1/12.md

@@ -0,0 +1,66 @@
+# 12. Tétel:
+**Mátrix inverze, létezésének szükséges és elégséges feltétele, az inverz kiszámítása.** Lineáris transzformációk invertálhatósága.
+
+## Fogalmak:
+**Mátrix inverze:** Egy $A \in \mathbb{R}^{n \cdot n}$ mátrix inverzének nevezzük az $X \in \mathbb{R}^{n \cdot n}$ mátrixot, ha $A \cdot X = E = X \cdot A$ teljesül. 
+    Jele: $X = A^{-1}$
+*(vágod az egységmátrix, aminek csak a főátlója 1, a többi 0)*
+
+**Inverz létezésének szükséges és elégséges feltétele:**  $A \in \mathbb{R}^{n \cdot n}$ mátrixnak akkor és csak akkor létezik inverze, ha $\det A \neq 0$
+[*(Bizonyítás)*](#inverz-létezése)
+
+**Inverz kiszámítása:** Párhuzamos Gauss-eliminációval: $(A|E) \rightarrow (E|A^{-1})$
+*(Gauss-eliminációval lehetne oszloponként kiszámítani, viszont mivel a baloldal mindig ugyanaz lenne, ezért lehet párhuzamosan futtatni)*
+
+**Lineáris transzformációk invertálhatósága:** egy $\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ [lineáris transzformáció](14.md) akkor és csak akkor invertálható, ha $\det[f] \neq 0$. Ha pedig ez a feltétel fennáll, akkor $[f^{-1}]=[f]^{-1}$ vagyis az $f^-1$ inverz transzformáció mátrixa az $f$ mátrixának az inverze
+[*(Bizonyítás)*](#lineáris-transzformáció-invertálható)
+
+## Bizonyítások
+
+### Lemma: $A \cdot X=E$ egyértelmű létezése
+> Ha $A \in \mathbb{R}^{n \cdot n}$ és $\det A \neq 0$, akkor egyértelműen létezik olyan $X \in \mathbb{R}^{n \cdot n}$ mátrix, amelyre $A \cdot X=E$
+
+- Legyenek $x_1, x_2, ..., x_n$ a keresett $X$ oszlopai. 
+- Mivel $A \cdot X = E$, ezért $A \cdot x_i = e_i $
+- Ez pedig egy lineáris egyenletrendszer, amelyről tudjuk, hogy ha $\det A \neq 0$, akkor egyértelműen megoldható.
+- Vagyis $!\exists x_i : \forall 1 \leq i \leq n$, ha $\det A \neq 0$
+
+### Inverz létezése:
+> $A \in \mathbb{R}^{n \cdot n}$ mátrixnak akkor és csak akkor létezik inverze, ha $\det A \neq 0$
+
+($\Rightarrow$) "ha van inverz, akkor a determináns nem 0"
+
+- Tegyük fel, hogy $\exists X = A^{-1}$
+- Ekkor $\det(A \cdot X) = \det E = 1$
+- Amire alkalmaza a [determinánsok szorzástételét](10.md), egyből látszik, hogy $\det A \cdot \det X = 1$, vagyis $\det A \neq 0$
+
+($\Leftarrow$) "ha determináns nem 0, akkor van inverz"
+
+- [A lemma miatt](lemma-a-cdot-xe-egyertelmu-letezese) látjuk, hogy ha $A^{-1}$ létezik, akkor egyértelmű
+- Azt is be kell látnunk, hogy ez az $X$ az $X \cdot A = E$-re is eleget tesz:
+    - a lemmát használjuk megint, de $X$ helyére $A$-t tesszük.
+    Ezt megtehetjük, hiszen tudjuk, hogy $\det A \cdot \det X = 1$ miatt $\det X \neq 0$
+    - Így kapunk egy $Y \in \mathbb{R}^{n \cdot n}$, amiről tudjuk, hogy $X \cdot Y = E$
+- Már csak azt kell belátni, hogy $A = Y$:
+    - Mivel a mátrix szorzás asszociatív ezért: 
+    $(A \cdot X) \cdot Y = A \cdot (X \cdot Y)$
+    $(E) \cdot Y = A \cdot (E)$
+    $Y=A \Rightarrow$ tényleg létezik inverze
+
+### Lineáris transzformáció invertálható
+> $f$ lineáris transzformáció invertálható, ha mátrixának determinánsa nem 0
+
+- $[f] = A$, vagyis $f(\underbar{x}) = A \cdot \underbar{x}$ és $A \in \mathbb{R}^{n \cdot n}$
+- ($\leftarrow$) szükségesség: *(indirekt módon)* tegyük fel, hogy $\det A = 0$
+    - Ekkor $A$ oszlopai lineárisan összefüggők
+    - Vagyis $A \cdot \underbar{x} = \underbar{0}$-nak több megoldása van. Pl. $A \cdot \underbar{x'} = \underbar{0}$ és $A \cdot \underbar{0} = \underbar{0}$
+    - De akkor a leképzés nem invertálható, hiszen $f(\underbar{0}) = f(\underbar{x'})$, amire két különböző értéket kéne felvennie. Vagyis a feltételezésünk hamis.
+- ($\rightarrow$) elégséges: ha $\det A \neq 0$, akkor $f$ invertálható.
+    - Mivel $\det A \neq 0$, ezért létezik inverz mátrix. (fentebb bizonyítottuk)
+    - ÉS $f(\underbar{x})=\underbar{y}$ ekvivalens $A \cdot \underbar{x} = \underbar{y}$-al.
+    - $A^{-1} \cdot (A \cdot \underbar{x}) = A^{-1} \cdot \underbar{y}$
+      $(A^{-1} \cdot A) \cdot \underbar{x} = A^{-1} \cdot \underbar{y}$
+      $E \cdot \underbar{x} = A^{-1} \cdot \underbar{y}$
+      $\underbar{x} = A^{-1} \cdot \underbar{y}$
+    - Vagyis ebből láthatjuk, hogy $\underbar{y} \rightarrow A^{-1} \cdot \underbar{y}$ az $f$ inverze, ezért bebizonyítottuk, hogy $f$ invertálható.
+