subset_sum_problem.md

Subset-Sum Problem

問題

給定一個值, 如100，給定一個 list，從 list 中挑選出 N 個元素，這 N 個元素相加也是 100，得到一種結果就行．

舉例: 給定一個 list：

lst = [ 99.1 , 92.2 , 60 , 50 ,
        49.5 , 45.7 , 25.1 , 20 , 
        17.4 , 13 , 10 , 7 , 2.1 , 2 , 1 ]

找到和為100的數組元素：

[ 60 , 20 , 10 , 7 , 2 , 1 ]

問題出自 segmentfault, by 輕逐微風

回答

來個 Python 版的:

def subsetsum(elements, target):
    if target==0:
        return True, []
    elif not elements or target < 0:
        return False, None

    result, subset = subsetsum(elements[:-1], target-elements[-1])
    return (True, subset + [elements[-1]]) if result else subsetsum(elements[:-1], target)

思路很簡單，當我要問 elements 是否能加出 target 時，只有兩種可能:

1. 我要使用 element[-1] 才能加出 target -> 我要能夠使用 elements[:-1] 加出 target-elements[-1] 才行
2. 我不需要使用 element[-1] 就能加出 target -> 我要能夠使用 elements[:-1] 加出 target 才行

boundary condition 是:

1. 當 target 為 0 時，代表我什麼都不用就能加出來，所以 return True, []
2. 當 elements 為空或是 target 為負值時，代表永遠都加不出來了，所以 return False, None

測試:

elements = [99.1, 92.2, 60, 50, 49.5, 45.7, 25.1, 20, 17.4, 13, 10, 7, 2.1, 2, 1]
target = 100
result, subset = subsetsum(elements, target)
print(result, subset)

結果:

True [60, 20, 10, 7, 2, 1]

衍生問題

題外話，看到這個題目覺得超熟悉，如果還要考慮到解的速度等等會更有趣。

曾經做過這方面的研究，我提出一個變形的問題，大家可以思考看看:

我們今天給定一個整數(代表負數也 ok )的 多重集 (多重集就是一個集合，但是允許元素重複出現)，叫做 elements，在給定另外一個整數的 多重集 叫做 targets，試問是否存在若干個 子多重集，每個 子多重集 的元素和恰好有一個在 targets 中對應的 target。

定義看不懂沒差，我舉個例子:

elements = (1,4,6,4,1)
targets = (5,10,1)

這個例子是有解的:

(1,4) -> 5
(4,6) -> 10
(1) -> 1

注意，每個在 elements 中的元素只能被使用一次!