Add analysis and partial proof for Erdős Conjecture on Arithmetic Progressions (Problem 77)

inprogress/77-Erdos-Conjecture-on-Arithmetic-Progressions/77-Erdos-Conjecture-on-Arithmetic-Progressions.fr.tex

@@ -0,0 +1,122 @@
+\documentclass[12pt]{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage[french]{babel}
+\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
+\usepackage{hyperref}
+\usepackage{geometry}
+\geometry{a4paper, margin=1in}
+
+\title{Analyse et R\'esultats Partiels sur la Conjecture d'Erd\H{o}s sur les Progressions Arithm\'etiques}
+\author{Charles EDOU NZE\thanks{Charles EDOU NZE, chercheur ind\'ependant}}
+\date{}
+
+\newtheorem{theorem}{Th\'eor\`eme}
+\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme}
+\newtheorem{definition}[theorem]{D\'efinition}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\begin{abstract}
+Ce document fournit une d\'ecomposition axiomatique rigoureuse, une revue de la litt\'erature et une structure de preuve partielle \'etape par \'etape pour la Conjecture d'Erd\H{o}s sur les Progressions Arithm\'etiques. L'architecture est con\c{c}ue pour faciliter une future autoformalisation dans des syst\`emes tels que Lean 4.
+\end{abstract}
+
+\section{Analyse et D\'ecomposition}
+
+\subsection{D\'efinitions Axiomatiques}
+Soit $\mathbb{N} = \{1, 2, \dots \}$ l'ensemble des entiers strictement positifs. Nous d\'efinissons les types et les variables de mani\`ere rigoureuse.
+\begin{definition}[Somme Harmonique Divergente]
+Soit $A \subseteq \mathbb{N}$ un sous-ensemble. Nous disons que $A$ poss\`ede une somme harmonique divergente, not\'ee $\mathcal{D}(A)$, si la s\'erie des inverses de ses \'el\'ements diverge :
+\[
+\sum_{n \in A} \frac{1}{n} = \infty.
+\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Progression Arithm\'etique de Longueur $k$]
+Pour $k \in \mathbb{N}, k \ge 3$, un ensemble $A \subseteq \mathbb{N}$ contient une progression arithm\'etique de longueur $k$, not\'ee $\mathcal{AP}_k(A)$, s'il existe $a \in \mathbb{N}$ et $d \in \mathbb{N}$ tels que pour tout $0 \le i < k$, $a + id \in A$.
+\end{definition}
+
+\textbf{\'Enonc\'e de la Conjecture :}
+Pour tout $A \subseteq \mathbb{N}$, si $\mathcal{D}(A)$ est vraie, alors pour tout $k \ge 3$, $\mathcal{AP}_k(A)$ est vraie.
+
+\subsection{Structures Alg\'ebriques et Combinatoires Sous-jacentes}
+Le probl\`eme m\^ele fondamentalement combinatoire additive et th\'eorie analytique des nombres. L'ensemble $A$ est consid\'er\'e comme un sous-ensemble dense au sens pond\'er\'e. La structure naturelle implique l'analyse de Fourier sur les groupes cycliques $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ (m\'ethode du cercle de Hardy-Littlewood) et l'utilisation des normes de Gowers pour d\'etecter les structures lin\'eaires. Une perspective alternative utilise la th\'eorie ergodique, associant le sous-ensemble $A$ \`a un syst\`eme dynamique pr\'eservant la mesure.
+
+\section{Recherche de Litt\'erature Contextuelle}
+Le th\'eor\`eme le plus important li\'e \`a cette conjecture est le th\'eor\`eme de Szemer\'edi, qui \'etablit que tout sous-ensemble de $\mathbb{N}$ ayant une densit\'e sup\'erieure strictement positive contient des progressions arithm\'etiques de longueur arbitraire. Le th\'eor\`eme de Green-Tao constitue une avanc\'ee majeure en prouvant que les nombres premiers, un ensemble de densit\'e nulle mais de somme harmonique divergente, contiennent des progressions arithm\'etiques de longueur arbitraire.
+Les r\'ecentes avanc\'ees de Kelley et Meka (2023) sur le th\'eor\`eme de Roth donnent des bornes quantitatives fortes sur les ensembles sans progression arithm\'etique de longueur 3.
+
+Par analogie, la r\'esolution du probl\`eme du Cap Set par Ellenberg et Gijswijt utilise la m\'ethode polynomiale. Bien que les m\'ethodes des corps finis ne se traduisent pas directement dans $\mathbb{Z}$, les m\'ethodes alg\'ebriques analogues aux bornes de Croot-Lev-Pach fournissent des indications pour borner les sous-ensembles sans structures lin\'eaires.
+
+\section{Strat\'egie de Preuve et Isolation des Lemmes}
+Pour aborder une version simplifi\'ee (par exemple, $k=3$ sur des sous-ensembles restreints), nous d\'ecomposons le probl\`eme en plusieurs lemmes.
+
+\begin{itemize}
+    \item \textbf{Lemme 1 (Incr\'ement de Densit\'e) :} Si un sous-ensemble $A$ de $\{1, \dots, N\}$ ne contient pas de progression arithm\'etique de longueur 3, il doit \^etre corr\'el\'e avec un ensemble de Bohr, ce qui permet un incr\'ement de densit\'e sur une sous-structure structur\'ee.
+    \item \textbf{Lemme 2 (Borne Harmonique sur la Clairsemance) :} Si un ensemble $A$ ne contient aucune progression arithm\'etique de longueur 3, sa fonction de comptage $A(x) = |A \cap \{1, \dots, x\}|$ est born\'ee par $O(x / (\log x)^c)$ pour un certain $c > 1$.
+\end{itemize}
+
+\section{Preuve Informelle du Lemme 2}
+\begin{proof}[Preuve du Lemme 2]
+Nous pr\'esentons la preuve \'etape par \'etape. Soit $A \subset \mathbb{N}$ tel que $A$ ne contient aucune progression arithm\'etique de longueur 3.
+Soit $N$ un grand entier, et soit $A_N = A \cap \{1, 2, \dots, N\}$.
+D'apr\`es les bornes quantitatives de Kelley et Meka, la taille de $A_N$ v\'erifie l'in\'egalit\'e :
+\[
+|A_N| \le \frac{N}{\exp(c (\log N)^{\beta})}
+\]
+pour certaines constantes $c > 0$ et $\beta > 0$.
+Nous \'evaluons la somme harmonique de $A$ par sommation d'Abel.
+Soit $S(N) = \sum_{n \in A, n \le N} \frac{1}{n}$.
+En utilisant la sommation par parties, nous exprimons $S(N)$ en fonction de $A(x) = |A \cap \{1, \dots, \lfloor x \rfloor\}|$ :
+\[
+S(N) = \frac{A(N)}{N} + \int_{1}^{N} \frac{A(t)}{t^2} dt.
+\]
+Nous majorons le premier terme :
+\[
+\frac{A(N)}{N} \le \frac{1}{\exp(c (\log N)^{\beta})}.
+\]
+Lorsque $N$ tend vers l'infini, ce terme tend vers $0$.
+Pour le terme int\'egral, nous substituons la majoration de $A(t)$ :
+\[
+\int_{1}^{N} \frac{A(t)}{t^2} dt \le \int_{1}^{N} \frac{t \exp(-c (\log t)^{\beta})}{t^2} dt = \int_{1}^{N} \frac{1}{t \exp(c (\log t)^{\beta})} dt.
+\]
+Nous calculons cette int\'egrale \`a l'aide du changement de variable $u = \log t$. Ainsi, $du = \frac{1}{t} dt$. Les bornes d'int\'egration changent de $t=1$ \`a $u=0$, et de $t=N$ \`a $u = \log N$ :
+\[
+\int_{0}^{\log N} \frac{1}{\exp(c u^{\beta})} du.
+\]
+Pour tout $\beta > 0$, l'int\'egrale $\int_{0}^{\infty} \exp(-c u^{\beta}) du$ est convergente. Plus pr\'ecis\'ement, en posant $v = c u^{\beta}$, $dv = c \beta u^{\beta - 1} du$, nous trouvons que l'int\'egrale est proportionnelle \`a la fonction Gamma $\Gamma(1/\beta)$.
+Puisque l'int\'egrale est major\'ee par une constante finie ind\'ependante de $N$, il s'ensuit que $S(N)$ est born\'e lorsque $N \to \infty$.
+Ainsi, $\sum_{n \in A} \frac{1}{n} < \infty$.
+Par contrapos\'ee, si $\sum_{n \in A} \frac{1}{n} = \infty$, l'ensemble $A$ doit contenir une progression arithm\'etique de longueur 3. Ceci ach\`eve la preuve du Lemme 2.
+\end{proof}
+
+\section{Architecture pour l'Autoformalisation}
+La structure de la preuve est directement adapt\'ee pour une impl\'ementation dans Lean 4.
+
+\begin{verbatim}
+import Mathlib.Data.Real.Basic
+import Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Log.Basic
+
+-- Axiomatic definition of the divergent harmonic sum
+def has_divergent_harmonic_sum (A : Set Nat) : Prop :=
+  Filter.Tendsto (fun N => \sum_{n \in A \cap {x | x \le N}} (1 / (n : Real)))
+    Filter.atTop Filter.atTop
+
+-- Axiomatic definition of containing an arithmetic progression of length k
+def contains_AP (A : Set Nat) (k : Nat) : Prop :=
+  \exists a d : Nat, d > 0 \and \forall i : Nat, i < k \to a + i * d \in A
+
+-- Main Theorem Statement (Erdős Conjecture)
+theorem erdos_ap_conjecture (A : Set Nat) (h : has_divergent_harmonic_sum A) :
+  \forall k \ge 3, contains_AP A k := by
+  sorry
+
+-- Lemma 2
+lemma ap3_harmonic_bound (A : Set Nat) (h : \not contains_AP A 3) :
+  \not has_divergent_harmonic_sum A := by
+  sorry
+\end{verbatim}
+
+\end{document}

inprogress/77-Erdos-Conjecture-on-Arithmetic-Progressions/77-Erdos-Conjecture-on-Arithmetic-Progressions.tex

@@ -0,0 +1,120 @@
+\documentclass[12pt]{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
+\usepackage{hyperref}
+\usepackage{geometry}
+\geometry{a4paper, margin=1in}
+
+\title{Analysis and Partial Results on the Erd\H{o}s Conjecture on Arithmetic Progressions}
+\author{Charles EDOU NZE\thanks{Charles EDOU NZE, chercheur ind\'ependant}}
+\date{}
+
+\newtheorem{theorem}{Theorem}
+\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
+\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\begin{abstract}
+This document provides a rigorous axiomatic decomposition, literature review, and step-by-step partial proof structure for the Erd\H{o}s Conjecture on Arithmetic Progressions. The architecture is designed to facilitate future autoformalization in systems such as Lean 4.
+\end{abstract}
+
+\section{Analysis and Decomposition}
+
+\subsection{Axiomatic Definitions}
+Let $\mathbb{N} = \{1, 2, \dots \}$ denote the set of positive integers. We define the types and variables rigorously.
+\begin{definition}[Divergent Harmonic Sum]
+Let $A \subseteq \mathbb{N}$ be a subset. We say that $A$ has a divergent harmonic sum, denoted as $\mathcal{D}(A)$, if the series of reciprocals of its elements diverges:
+\[
+\sum_{n \in A} \frac{1}{n} = \infty.
+\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Arithmetic Progression of Length $k$]
+For $k \in \mathbb{N}, k \ge 3$, a set $A \subseteq \mathbb{N}$ contains an arithmetic progression of length $k$, denoted as $\mathcal{AP}_k(A)$, if there exist $a \in \mathbb{N}$ and $d \in \mathbb{N}$ such that for all $0 \le i < k$, $a + id \in A$.
+\end{definition}
+
+\textbf{Conjecture Statement:}
+For any $A \subseteq \mathbb{N}$, if $\mathcal{D}(A)$ holds, then for all $k \ge 3$, $\mathcal{AP}_k(A)$ holds.
+
+\subsection{Underlying Algebraic and Combinatorial Structures}
+The problem fundamentally intertwines additive combinatorics and analytic number theory. The set $A$ is viewed as a dense subset in a weighted sense. The natural structure involves Fourier analysis on the cyclic groups $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ (the Hardy-Littlewood circle method) and the use of Gowers norms to detect linear structures. An alternative perspective uses ergodic theory, mapping the subset $A$ to a measure-preserving dynamical system.
+
+\section{Contextual Literature Research}
+The most prominent theorem related to this conjecture is Szemer\'edi's Theorem, which establishes that any subset of $\mathbb{N}$ with positive upper density contains arbitrarily long arithmetic progressions. The Green-Tao theorem provides a massive breakthrough by proving that the primes, a set with vanishing density but divergent harmonic sum, contain arbitrarily long arithmetic progressions.
+Recent advancements by Kelley and Meka (2023) on Roth's theorem give strong quantitative bounds on sets without 3-term arithmetic progressions.
+
+By analogy, the resolution of the Cap Set Problem by Ellenberg and Gijswijt utilizes the polynomial method. While finite field methods do not directly translate to $\mathbb{Z}$, algebraic methods analogous to Croot-Lev-Pach bounds provide insights into bounding subsets without linear structures.
+
+\section{Proof Strategy \& Isolation of Lemmas}
+To tackle a simplified version (e.g., $k=3$ over restricted subsets), we decompose the problem into several lemmas.
+
+\begin{itemize}
+    \item \textbf{Lemma 1 (Density Increment):} If a subset $A$ of $\{1, \dots, N\}$ lacks 3-term arithmetic progressions, it must correlate with a Bohr set, allowing an increment in density on a structured substructure.
+    \item \textbf{Lemma 2 (Harmonic Bound on Sparsity):} If a set $A$ contains no 3-term arithmetic progressions, its counting function $A(x) = |A \cap \{1, \dots, x\}|$ is bounded by $O(x / (\log x)^c)$ for some $c > 1$.
+\end{itemize}
+
+\section{Informal Proof of Lemma 2 (Zero Ellipsis)}
+\begin{proof}[Proof of Lemma 2]
+We present the proof step by step. Let $A \subset \mathbb{N}$ such that $A$ contains no 3-term arithmetic progressions.
+Let $N$ be a large integer, and let $A_N = A \cap \{1, 2, \dots, N\}$.
+According to the quantitative bounds by Kelley and Meka, the size of $A_N$ satisfies the inequality:
+\[
+|A_N| \le \frac{N}{\exp(c (\log N)^{\beta})}
+\]
+for some constants $c > 0$ and $\beta > 0$.
+We evaluate the harmonic sum of $A$ by partial summation.
+Let $S(N) = \sum_{n \in A, n \le N} \frac{1}{n}$.
+Using summation by parts, we express $S(N)$ in terms of $A(x) = |A \cap \{1, \dots, \lfloor x \rfloor\}|$:
+\[
+S(N) = \frac{A(N)}{N} + \int_{1}^{N} \frac{A(t)}{t^2} dt.
+\]
+We bound the first term:
+\[
+\frac{A(N)}{N} \le \frac{1}{\exp(c (\log N)^{\beta})}.
+\]
+As $N$ approaches infinity, this term approaches $0$.
+For the integral term, we substitute the bound for $A(t)$:
+\[
+\int_{1}^{N} \frac{A(t)}{t^2} dt \le \int_{1}^{N} \frac{t \exp(-c (\log t)^{\beta})}{t^2} dt = \int_{1}^{N} \frac{1}{t \exp(c (\log t)^{\beta})} dt.
+\]
+We compute this integral using the substitution $u = \log t$. Thus, $du = \frac{1}{t} dt$. The limits of integration change from $t=1$ to $u=0$, and $t=N$ to $u = \log N$:
+\[
+\int_{0}^{\log N} \frac{1}{\exp(c u^{\beta})} du.
+\]
+For any $\beta > 0$, the integral $\int_{0}^{\infty} \exp(-c u^{\beta}) du$ is convergent. Specifically, letting $v = c u^{\beta}$, $dv = c \beta u^{\beta - 1} du$, we find that the integral is proportional to the Gamma function $\Gamma(1/\beta)$.
+Since the integral is bounded by a finite constant independent of $N$, it follows that $S(N)$ is bounded as $N \to \infty$.
+Thus, $\sum_{n \in A} \frac{1}{n} < \infty$.
+By contraposition, if $\sum_{n \in A} \frac{1}{n} = \infty$, the set $A$ must contain a 3-term arithmetic progression. This completes the proof of Lemma 2.
+\end{proof}
+
+\section{Architecture for Autoformalization}
+The proof structure is directly mapped for implementation in Lean 4.
+
+\begin{verbatim}
+import Mathlib.Data.Real.Basic
+import Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Log.Basic
+
+-- Axiomatic definition of the divergent harmonic sum
+def has_divergent_harmonic_sum (A : Set Nat) : Prop :=
+  Filter.Tendsto (fun N => \sum_{n \in A \cap {x | x \le N}} (1 / (n : Real)))
+    Filter.atTop Filter.atTop
+
+-- Axiomatic definition of containing an arithmetic progression of length k
+def contains_AP (A : Set Nat) (k : Nat) : Prop :=
+  \exists a d : Nat, d > 0 \and \forall i : Nat, i < k \to a + i * d \in A
+
+-- Main Theorem Statement (Erdős Conjecture)
+theorem erdos_ap_conjecture (A : Set Nat) (h : has_divergent_harmonic_sum A) :
+  \forall k \ge 3, contains_AP A k := by
+  sorry
+
+-- Lemma 2
+lemma ap3_harmonic_bound (A : Set Nat) (h : \not contains_AP A 3) :
+  \not has_divergent_harmonic_sum A := by
+  sorry
+\end{verbatim}
+
+\end{document}

inprogress/77-Erdos-Conjecture-on-Arithmetic-Progressions/README.fr.md

@@ -0,0 +1,9 @@
+# Conjecture d'Erdős sur les Progressions Arithmétiques (Problème 77)
+
+## Énoncé du Problème
+La conjecture d'Erdős sur les progressions arithmétiques affirme que si la somme des inverses des éléments d'un ensemble $A$ d'entiers strictement positifs diverge, alors $A$ contient des progressions arithmétiques de longueur arbitraire.
+
+## Statut
+**En Cours**
+
+Ce répertoire contient une analyse partielle, une décomposition axiomatique et les étapes vers une structure de preuve autoformalisée dans Lean 4.

inprogress/77-Erdos-Conjecture-on-Arithmetic-Progressions/README.md

@@ -0,0 +1,9 @@
+# Erdős Conjecture on Arithmetic Progressions (Problem 77)
+
+## Problem Statement
+The Erdős conjecture on arithmetic progressions states that if the sum of the reciprocals of the members of a set $A$ of positive integers diverges, then $A$ contains arbitrarily long arithmetic progressions.
+
+## Status
+**In Progress**
+
+This directory contains a partial analysis, axiomatic decomposition, and steps towards an autoformalized proof structure in Lean 4.